Calculo Integral

Unidad no.1 Teorema Fundamental del Cálculo.
1.1 Medición aproximada de figuras amorfas.
Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Consideremos una piscina. Si es rectangular, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de suborde (para atarla). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, todas estas cantidades piden integrales. Al comienzo puede ser suficiente con aproximaciones prácticas, pero al final harán falta respuestas exactas y rigurosas a este tipo de problemas.

Aproximaciones a la integral de √x entre 0 y 1, con ■ 5 muestras por la izquierda (arriba) y ■ 12 muestras por la derecha (abajo).
Para empezar,se considerará la curva y = f(x) entre x = 0 y x = 1, con f(x) = √x. La pregunta es:
¿Cuál es el área bajo la función f, al intervalo desde 0 hasta 1?
Esta área (todavía desconocida) será la integral de f. La notación para esta integral será
.
Como primera aproximación, se mira al cuadrado unidad dado por los lados x=0 hasta x=1 y y=f(0)=0 y y=f(1)=1. Su área es exactamente 1. Tal como sepuede ver, el verdadero valor de la integral tiene que ser de alguna forma más pequeño. Reduciendo el ancho de los rectángulos empleados para hacer la aproximación se obtendrá un mejor resultado; así, se parte el intervalo en cinco pasos, empleando para la aproximación los puntos 0, 1⁄5, 2⁄5, así hasta 1. Se ajusta una caja cada paso empleando la altura del lado derecho de cada pedazo de la curva,así √1⁄5, √2⁄5, y así hasta √1 = 1. Sumando las áreas de estos rectángulos, se obtiene una mejor aproximación de la integral que se está buscando,

Nótese que se está sumando una cantidad finita de valores de la función f, multiplicados por la diferencia entre dos puntos de aproximación sucesivos. Se puede ver fácilmente que la aproximación continúa dando un valor más grande que el de laintegral. Empleando más pasos se obtiene una aproximación más ajustada, pero no será nunca exacta: si en vez de 5 subintervalos se toman doce y se coge el valor de la izquierda, tal como se muestra en el dibujo, se obtiene un valor aproximado para el área, de 0,6203, que en este caso es demasiado pequeño. La idea clave es la transición desde la suma de una cantidad finita de diferencias de puntos deaproximación multiplicados por los respectivos valores de la función, hasta usar pasos infinitamente finos, o infinitesimales.
1.2 Notación sumatoria.
El sumatorio o la sumatoria es un operando matemático que permite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos, se expresa con la letra griega sigma (Σ), y se define como:
|
Esto se lee: "Sumatorio sobre i, desde m hasta n,de x sub-i", o bien "sumatoria de i, de m a n, de x sub-i"
La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m. La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente debe cumplirse que:

Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales se puede hacerlo de esta forma:

También hayfórmulas para calcular los sumatorios más rápido. Por ejemplo, para sumar los primeros mil números naturales no tiene mucho sentido sumar número por número, y se puede usar una fórmula como esta:
=
Los operadores de suma son útiles para expresar sumas de forma analítica; esto es, representar todos y cada de los sumandos en forma general mediante el "i-ésimo" sumando.
1.3 Sumas de Riemann.
Enmatemáticas, la suma de Riemann es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.
Definición
Consideremos lo siguiente:
* una función
donde D es un subconjunto de los números reales
* I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.
* Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales...