Calculo Integral

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Definición y representación
Estas sumas fueron inventadas por Bernhard Riemann para aproximar el valor de las integrales definidas (es decir definidas en intervalos del tipo [a, b]) y para elaborar un criterio de integrabilidad (es decir para saber que funciones son integrables, y según que método de cálculo).
Las sumas de Riemann más sencillasson las siguientes:  . Una suma de Riemann se interpreta como el área total de rectángulos adyacientes de anchura común  y de alturas  situados entre el eje de los abscisas y la curva de la función f (ver figura siguiente).

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Teorema fundamental
El teorema más elemental es el siguiente: 
Para toda función continua en el intervalo [0, 1] lassumas de Riemann convergen a la integral de f en el intervalo:

Prueba
El intervalo I = [0,1] es un espacio métrico compacto por lo que toda función continua lo es de manera uniforme (según el teorema de Heine): la continuidad en I se escribe : 

es decir que el número α depende de x (y de ε), mientras que en la continuidad uniforme se puede encontrar un número α que sirva para todos los x deI: 

Tomemos un ε > 0 cualquiera, y un α > 0 que verifica la relación anterior. Luego existe un natural n tal que  (basta con tomar  , la parte entera de  ). 
Para todo x en  luego , lo que también se escribe: 
Integrando la relación anterior en  se obtiene la siguiente: 
Luego sumando los  con k variando de 0 a n - 1 se obtiene: 
lo que equivale a: . 
El valor de ε puede serarbitrariamente pequeño (cercano a cero) con tal de tomar n lo suficientemente grande. Luego la relación anterior pasa al límite y da: 
Se demuestra de manera muy parecida la convergencia de la otra suma de Riemann, pues en  también tenemos .
Ejemplos
1) Historicamente se ha sabido calcular sumas muy antes de medir áreas mediante integrales. Por esta razón el primer ejemplo utiliza el teorema en elsentido original de definir una integral gracias a las sumas de Riemann. El primer área que necesitó cálculos elaborados fue la definida por la parábola: la cuadratura de la parábola fue resuelta por Arquímedes en elsiglo III adC aproximando una porción de parábola por triángulos cuyas superficies forman una sucesión geométrica. Utilizar rectángulos en vez de triángulos permite utilizar las sumas deRiemann.
Se establece por inducción la relación muy conocida que da la suma de los primeros cuadrados: 
Luego: 
2) ¿Hacia qué valor tiende la sumas de los n inversos empezando por ? En otras palabras, ¿cuál es el límite de la sucesión  cuyos primeros términos son:  y así sucesivamente?
El término general es , es acotado por  y 1 (se mira el número de términos multiplicado por el menor y elmayor respectivamente), es decreciente (al pasar de un a un+1 se añade  pero se quita  que es mayor) luego la sucesión converge.

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Generalizaciones
A otros intervalos
Si en vez de trabajar con una función definida en [0, 1] escojemos un intervalo compacto cualquira [a, b], que seguimos cortando en n subintervalos de misma longitud obtenemos unaaproximación del área bajo la curva de f por n rectángulos de área total , aproximación que se vueve más precisa a medida que crece n, luego el teorema es el siguiente:

La prueba es idéntica a la con el intervalo [0, 1] porque en la demostración sólo se utiliza la compacidad del intervalo. Otro argumento es emplear el cambio de variable para pasar de una función f definida en [a, b] a otra, g,definida en [0, 1]: Concretamente:.
Así  por el teorema en [0, 1],
y:  con el cambio de variable: .
Ejemplo: 
A otras subdivisiones
Hasta el momento se ha descompuesto el intervalo de estudio, [0, 1] o [a, b] en n segmentos de misma longitud, es decir que se ha utlizado una subdivisión regular del intervalo. Una subdivisión cualquiera σ de [a, b] es definida por los números x0, x1 ... xn tales...