calculo integral

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PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA


Propiedades
Teoremas
Cálculo de áreas entre dos curvas
Ver Ejemplo
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Seenuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudarán a evaluarlas con más facilidad.
1) donde c es una constante
2) Si f y g son integrables en [a, b] y c esuna constante, entonces las siguientes propiedades son verdaderas:


(se pueden generalizar para más de dos funciones)
3) Si x está definida para x = a entonces     0
4) Si f es integrable en [a,b] entonces   
5) Propiedad de aditividad del intervalo: si f es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por a, b y c entonces


INTENTE DEMOSTRAR LAS PROPIEDADES ENUNCIADAS
VolverCONSERVACIÓN DE DESIGUALDADES
* Si f es integrable y no negativa en el intervalo cerrado [a, b] entonces
Demostración: Si f(x)  0 entonces representa el área bajo la curva de f de modo que lainterpretación geométrica de esta propiedad es sencillamente el área. (También se deduce directamente de la definición porque todas las cantidades son positivas).
* Si f y g son integrables en elintervalo cerrado [a, b] con f(x)  g(x) para todo x en [a, b] entonces
Demostración: Si f(x)  g(x) podemos asegurar que f(x)  g(x)  0 y le podemos aplicar la propiedad anterior y por lo tanto . Deaquí  0 y de esta manera .

Supongamos que m y M son constantes tales que m  f(x)  M para a  x  b. Se dice que f está acotada arriba por M y acotada abajo por m, la gráfica queda entre la rectay = m    y   la recta   y = M. Podemos enunciar el siguiente teorema:
* Si f es integrable y   m  f(x)  M   para   a  x  b   entonces     m (b  a)   M (b  a).

(La gráfica ilustra lapropiedad cuando f(x)  0)
Si y  f(x) es continua y m y M son los valores mínimos y máximos de la misma en el intervalo [a, b] gráficamente esta propiedad indica que el área debajo de la gráfica de f...