Calculo Integral

Cálculo Integral

APUNTES DE LA MATERIA DE CÁLCULO INTEGRAL


CALCULO INTEGRAL
Unidad 1Teorema fundamental del cálculo
1.1 Medición aproximada de figuras amorfas
1.2 Notación sumatoria
1.3 Sumas de Riemann
1.4 Definición de integral definida
1.5Teorema de existencia
1.6 Propiedades de la integral definida
1.7 Función primitiva
1.8 Teorema fundamental delcalculo
1.9 Calculo de integrales definidas
1.10 Integrales impropias

Unidad 2 Integral indefinida y métodos de integración
2.1 Definición de integral indefinida
2.2 Propiedades de integrales indefinidas
2.3 Calculo de integrales indefinidas
2.3.1 Directas
2.3.2 Con cambio de variable
2.3.3 Trigonométricas
2.3.4 Por partes
2.3.5 Por sustitución trigonométrica
2.3.6 Porfracciones parciales

Unidad 3 Aplicaciones de la integral
3.1 Áreas
3.1.1 Área bajo la gráfica de una función
3.1.2 Área entre las gráficas de funciones
3.2 Longitud de curvas
3.3 Calculo de volúmenes de solidos de revolución
3.4 Calculo de centroides
3.5 Otras aplicaciones

Unidad 4Series
4.1 Definición de serie
4.1.1 Finita
4.1.2 Infinita
4.2 Serie numérica yconvergencia, prueba de razón (criterio de D´Alembert) y prueba de la raíz (criterio de Cauchy).
4.3 Serie de potencias.
4.4 Radio de convergencia
4.5 Serie de Taylor
4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor
4.7 Calculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor

FUENTES DE INFORMACION

1.-Stewart, james B. cálculo con una variable, editorial Thomson.2.-Larson, Ron. Matemáticas 2 (calculo integral. McGraw-Hill 2009.

3.-Swokowski Earl W. Cálculo con geometría analítica.Editorial Oxford University Press, 2009.

4.-Leithold, Louis.El cálculo con geometría analítica., grupo editorial iberoamericana,1998.

5.-Purceil, Edwin J. Cálculo, editorial Pearson, 2007.

6.-Ayres, Frank. Cálculo, Mc-Graw-Hill, 2005.

7.-Hsser Frank, calculo ,Mc-Graw, análisis matemático, Editorial Trillas, 2009.

8.-Courant, Plichard. Introducción al cálculo y aralis matemático, Editorial Trillas 2008 (limus).

9.-Aleksandro, A,D. kolmogorex A.N loudert, Madrid Alianza

10.-Bayer C.B (1959). The history of the caclculosondis conceptual developmetnew york, Dover publication inc.

1.2 Notación sumatoria

La notación de sumatoria (o con sigma).Una integral puede ser indefinida o definida. Posteriormente se verá que la integral definida se define como el límite de una cierta clase de adición o suma. Por lo tanto, resulta útil introducir una notación especial que permita escribir una suma o sumatoria de constantes, tal como:

1+2+3+…+n.

22+ 42+62+…+ (2n2), y

13 + 14 + 15 + … + 12n-1 ,

De manera concisa, sea:
ak, los númerosrealesson: todos, fraccionarios, enteros, positivos, negativos, etc.
3.1416 es el número indefinido de números no periódicos.
Un número real: Que depende de un número entero k. Se denota la suma por sumatoria a1+a2+a3+…+an. Por el símbolo: de la sumatoria desde 1 a n por ak
k=1nak(5.11)

Como se utiliza ∑, la letra griega sigma mayúscula, a 5.11 se le llama notación de sumatoria o notacióncon sigma. A la variable k se le denomina índice sumatorio.
Así que, k=1nakes la sumatoria de todos los números de la forma ak, cuando k toma los valores sucesivos (k=1, k=2,…, k=n).

Ejemplo 1. a) k=15(3k-1)={3(1)-1} + {3(2)-1} + {3(3)-1} + {3(4)+1} + {3(5)+1} =

b) k=141(k+1)2 = 1(2)2 + 1(3)2+1(4)2+ 1(5)2 =

c) k=1100k3 = 13 + 23 + 33 + … (98)3 + (99)3 + (100)3Ejemplo 2.
a) La sumatoria de los primeros 10 primeros númerosimpares positivos, puede escribirse en forma concisa: k=110(2k-1)= {2(1)-1}

b) También se verifica que la suma de los 10 primeros enteros pares positivos (2+4+6+8+…+20) queda como:k=1102k
No es necesario que el índice sumatorio empiece con el valor k=1; por ejemplo k=352k =23+24+25 y k=052k= 20+21+22+23+24+25
Obsérvese...