Calculo Integral

Índice
Teorema fundamental de cálculo………. 3 a 8
Teorema de Rolle…………..9 a 12
Teorema del valor medio………………9 a 17

El Teorema Fundamental de Cálculo.
Ya hemos entrado en las dos partes más importantes del cálculo: el cálculo diferencial, que fue introducido al estudiar el problema de la tangente y el cálculo integral, que fue introducido con el problema del área. En principio, no parecehaber razón para pensar que estos dos problemas estén relacionados. Sin embargo hay una estrecha conexión entre ellos. Esta conexión fue descubierta independientemente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, y por esta razón ambos se les atribuyen normalmente el descubrimiento del cálculo. La conexión se establece en un teorema que se denomina apropiadamente el teorema fundamental del cálculo.Aproximadamente el teorema nos dice que la derivación y la integración (definida) son operaciones inversas, en forma parecida a como lo son la división y la multiplicación. Para ver que Newton y Leibniz pudieron vislumbrar esta relación, fijémonos en las aproximaciones usadas en los dos desarrollos de las dos operaciones. En la figura 5.23 usamos el cociente ∆y/∆x (la pendiente de la recta secante) paraaproximar la pendiente de la recta tangente en (x, y). De forma similar, en la figura 5.24 usamos el producto ∆y∆x (el área de un rectángulo) para aproximar el área bajo la curva. Por tanto, al menos en la etapa de aproximación primitiva, las dos operaciones parecen tener una relación de inversas. El teorema Fundamental del cálculo nos dice que los procesos de límite (usados por definir la derivaday la integral definida) conservan esta relación de inversas.

Si una función es f es continua en el intervalo [a, b] entonces
abfxdx=Fb-F(a)
donde f es cualquier función tal que F(x)=f(x) para todo x en
[a, b].
Demostración: La clave de la demostración esta en escribir la diferencia F (b)-F (a) en forma conveniente. Sea ∆ la partición siguiente de [a, b]:
a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b
Restando y sumando los mismos términos, obtenemos
F (b)-F (a) = F (xn)-F (xn-1) - … -F (x1) +F (x1)-F (x0)
= i=1n[Fxi-Fxi-1]
Ahora bien por el teorema del valor medio, sabemos que existe un número ci en el subintervalo i-ésimo, tal que:
F ci=Fxi-Fxi-1xi-xi-1
Como F (ci)=f(ci), hacemos∆xi=xi-xi-1 y escribimos
Fb-Fa=i=1nf(ci)∆xi
Este sorprendente ecuación nos dice que aplicando elteorema d9el valor medio siempre podemos hallar una colección de valores de ci tales que la constante F (b) – F (a) es una suma de Riemann de f en [a, b]. Haciendo el limite (cuando) ll∆ll →0, obtenemos
Fb-Fa=abfxdx
Ejemplo 1:
a)12x2-3dx=[x33-6x]21=(83-6)-(13-3)= -23
01(4t+1)2dt=1401(4t+1)24dt=14[4t+133]10=141253-13= 313 u=4t+1

Ejemplo 2:
143xdx
Solución:|43xdx=314x12dx=[x3232]=2(4)32-2(1)32=14
Ejemplo 3:
0π8sec22xdx
Solución:
0π8sec22xdx=12 0π82sec22xdx=12tg 2x0π8=121-0=12 u=2x
Ejemplo 4:
022x-1dx
Solución: De la figura 5.25 y de la definición del valor absoluto, vemos que
2x-1=-2x-1, x< 122x-1, x ≤ 12

Por lo tanto la integral en dos partes de la forma022x-1dx=012-2x-1dx+1222x-1dx=-x2+x120+[x2-x]212=-14+12-0+0+4-2-14-12= 52
Ejemplo 5:
Hallar el área de la región limitada por la grafica de y=2x2-3x+2 el eje x y las líneas verticales x=0 y x=2 como se ve en la figura 5.26
Solución:
área=02(2x2-3x+2)dx=2x33-3x22+2x20=163-6+4=103

Teorema del Valor Medio.
El teorema del valor medio afirma que una función continua en un intervalo cerrado tiene necesariamente un máximo y un mínimo en eseintervalo. Pero puede producirse en los puntos terminales. Ahora presentamos el teorema de Rolle, llamado así en honor al matemático francés Michel Rolle (1652-1729) que asegura la existencia de extremos con el interior.
Teorema de Rolle.
Sea f continua en [a, b] y derivable en (a, b). Si
fa=f(b)
entonces al menos un numero c en (a, b) tal que f(c)=0.
Demostración: Sea fa=d=fb.
Caso 1:...