CALCULO INTEGRAL

Prof. Susana López

1
Universidad Autónoma de Madrid

Tema 3: Cálculo Integral
1

Cálculo de Primitivas

1.1

Conceptos preliminares

De…nición 1 (Función primitiva o antiderivada) Diremos que la función F(x) es una función primitiva o antiderivada de f (x) si
F 0 (x) = f (x)
para todo punto x 2 Dom (f ) :
De…nición 2 (Integral Inde…nida) Dada la función f, se llama integral inde…nida de f alconjunto de todas las funciones primitivas de f
Z
f (x) dx = F (x) + K
donde C es una constante arbitraria, siendo F una primitiva cualquiera de f.

1.2

Integrales inmediatas y métodos de integración

Existen ciertas integrales que son inmediatas y nos servirán para cálculos posteriores.
R

R

R

R

R
R

R

R

R

kdx = kx + K
xn dx =
1
dx
x

1
xn+1
n+1

+ K para todo n 6=

1

= ln x + K

ex dx = ex+ K
ax dx =

1 x
a
ln a

sin xdx =

+K

cos x + K

cos xdx = sin x + K
tan xdx =
1
dx
cos2 x

=

ln (cos x) + K
R

(1 + tan2 x) dx =

R

sec2 xdx = tan x + K

Prof. Susana López
R

R

R

1
dx
sin2 x

=

p 1
dx
1 x2

R

2
(1 + cot2 x) dx =

= arcsin x + K

R

csc2 xdx =

cot x + K

1
dx
1+x2

= arctan x + K
p
R 1
p
dx
=
ln
x
+
1 + x2 + K
1+x2

Propiedades:

1. Si f es derivable

Z

2. Si f esintegrable
d
dx
3. Para toda f y g integrables.
Z
f (x)

f 0 (x) dx = f (x)
Z

f (x) dx = f (x)

g (x) dx =

Z

f (x) dx

Z

g (x) dx

4. Para todo escalar a 2 R y toda función integrable
Z
Z
af (x) dx = a f (x) dx

Cuando una función no es inmeditamente integrable existen distintos métodos de integración
que nos podrán ayudar a la hora de calcular su integral.
1.2.1

Cambio de variable:

Sea ' unafunción con derivada '0 continua, y sea f una función continua. Entonces, haciendo
t = ' (x) tenemos entonces que dt = '0 (x) dx
Z
Z
0
f (' (x)) ' (x) dx = f (t) dt
I=
tomamos t = 2x

Z

e2x 5 dx

5 de manera que dt = 2dx luego dx = 12 dt sutituyendo tenemos
Z
Z
Z
1
1
2x 5
t1
I= e
dx = e dt =
et dt = et + K
2
2
2

Prof. Susana López

3

I=

Z

x3 cos x4 dx

tomamos t = x4 de manera que dt = 4x3 dx,sustituyendo obtenemos
Z
Z
1
1
3
4
cos tdt = sin t + K
I = x cos x dx =
4
4
A través del método de cambio de variable tenemos que las siguientes integrales se convierten
en inmediatas:
R

R

R

R
R

R

[f (x)]n f 0 (x) dx =
f 0 (x)
dx
f (x)

1
n+1

[f (x)]n+1 + K para todo n 6=

1

= ln f (x) + K

f 0 (x) ef (x) dx = ef (x) + K
f 0 (x) af (x) dx =

1 f (x)
a
ln a

f 0 (x) sin f (x) dx =

+K

cosf (x) + K

f 0 (x) cos f (x) dx = sin f (x) + K

R

f 0 (x) tan f (x) dx = ln (cos f (x)) + K
R f 0 (x)
R
R
dx = (1 + tan2 f (x)) dx = sec2 f (x) dx = tan f (x) + K
cos2 f (x)
R

f 0 (x)
dx
sin2 f (x)

R

p f (x)

R

p f (x)

R

0

1 f (x)2

1+f (x)

R

(1 + cot2 f (x)) dx =

dx = arcsin f (x) + K

f 0 (x)
dx
1+f (x)2
0

=

R

csc2 f (x) dx =

= arctan f (x) + K

q
dx = ln x + 1 + f (x)2 + K
2cot f (x) + K

Prof. Susana López
1.2.2

4

Integración por partes:

Este método se suele emplear cuando tenemos en el integrado el producto de dos funciónes. Si
u y v son dos funciones de x tales que sus derivadas son continuas entonces:
Z
Z
udv = uv
vdu
Consideremos distintas situaciones que pueden aparecer en las que aplicaremos integración
por partes.
R
P (x) ln xdx donde P (x) es unpolinomio.
En este caso tomaremos

u = ln x
duR = x1 dx
dv = P (x) dx v = P (x) dx

de manera que

I = P (x) ln x

I=
tomamos

Z

Z

Z

1
x

P (x) dx dx

x ln xdx

u = ln x du = x1 dx
dv = xdx v = 12 x2

entonces
Z

1
I =
x ln xdx = x2 ln x
2
Z
1
1 2
x ln x
xdx =
=
2
2
1 2
1 2
=
x ln x
x +K
2
4

Z

1 21
x dx =
2 x

R

R
P (x) sin x dx o P (x) cos x dxdonde P (x) es un polinomio.
R
En el caso P (x) sin x dxtomaremos
u = P (x) du = P 0 (x) dx
dv = sin xdx v = cos xdx

de manera que
I = sin x ln x +

Z

P 0 (x) cos xdx

Prof. Susana López
En el caso

R

5

P (x) cos x dx tomaremos
u = P (x) du = P 0 (x) dx
dv = cos xdx v = sin xdx

de manera que

Z

I = cos x ln x

I=
tomamos

Z

P 0 (x) sin xdx

x sin xdx

u=x
du = dx
dv = sin xdx v = cos x
entonces
I =
=
R

Z

x sin xdx =

x cos x +

x cos x +...