Calculo Jon Rowgaski

EJERCICIOS CÁLCULO VARIAS VARIABLES
NOMBRE: Marlon Yesid Pérez Alfonso CÓD. : 274059

EXERCISES 999 - 1001

2.  Calcular la integral de superficie del campo vectorial F = (x, y, x + y) sobre la porción S del paraboloide z = x2 + y2 recostada sobre el disco x2 + y2 ≤ 1.

Se paramétriza él paraboloide de la siguiente manera:x=ucosvy=u sen vz=u2 0≤u≤10 ≤v≤2π

Entonces la ecuación parametrizada queda:
ϕ u,v=( ucosv , u sen v , u2)
Calculo Tu , Tv y la normal.
Tu=(cos v , sen v , 2u) Tv=(-u senv , u cos v , 0)

n u, v= Tu×Tv= ijkcosvsen v2u-u senvu cosv0= (-2u2cosv , -2u2sen v , u)

Ahora escribo F en términos de (u, v) y realizamos el producto punto con la normal

Fϕ u,v=(ucosv , u sen v , ucosv+usen v)

Fϕ u,v∙n u, v=(ucosv , u sen v , ucosv+u sen v)∙ (-2u2cosv , -2u2sen v , u)
=(-2u3cos2v-2u3 sen2 v+ u2cosv+u2 sen v)
=(-2u3+ u2cosv+u2 sen v)
Se evalúa la integral de superficie
SF ds=u=01v=02π(-2u3+ u2cosv+u2 sen v) dv du
La integral de u2cosv y u2 sen v sobre 0 ≤v≤2π , es en ambos casos 0, entonces con lo que queda es:
SF ds=u=01v=02π-2u3 dv du=-2u=01v=02πu3 dv du= -22πu=01u3 du=-22πu4401= -π
CHAPTER REWIEW EXERCISES 1001-1004

32. calcule la integral de f (x, y, z) = e z-y sobre la porción del plano 6x + 4y + z = 24, donde x, y, z = 0.

Entonces despejamos z en la ecuación del plano y parametrizamos

z = 24-6x-4y z=f(x,y)

ϕx,y=x,y,fx,y=(x,y,24-6x-4y)

Calculamos la normal con ayuda de Tx y Ty

Tx=(1, 0 , -6) Ty=(0 , 1 , -4)

n x, y= Tx×Ty= ijk10-601-4= (6,4,1)

Y calculamos n=1+62+(4)2=53

Luego remplazamos en la función f (x, y, z) = ez-y

Sf (x, y, z) dS= f(ϕx,y)n x, ydx dy=530∞0∞e24-6x-4y-ydxdy

=530∞0∞e24-6x-5ydxdy= 530∞0∞(e24∙e-6x∙e-5y) dxdy

=53 ∙e240∞0∞e-6x∙e-5y dxdy= 53 ∙e24 (0∞e-6x dx) (0∞e-5y dy)

= 53 ∙e24-e-6x60∞-e-5y50∞= 53 ∙e240-160-15
= 5330 ∙e24EXERCISES 1014 - 1018

El conjugado de un vector campo F = (P, Q) es el vector campo F*=(-Q, P)

33. la componente normal de F en un punto p en una curva simple cerrada C, es
(F (p)∙np donde n (P) es la unidad apuntando hacia afuera del vector normal. El flujo de F en curva C se define como una línea integral de la componente normal alrededor de C (Figura 28). Demuestre que el flujo en C es iguala

Debemos demostrar que:
C(F ∙n) ds= CF * ∙ds
Entonces por la definición de la línea integral de un vector F* campo definido en C sobre la orientación de la curva determinada por el campo unitario tangente T es la integral de trabajo

CF* ds= CF* ∙T ds (1)
Y como nos dan de condición inicial que el conjugado de un vector campo F = (P, Q) es el vector campo F*=(-Q, P), demostramosque F* es una rotación de F de π2 en sentido contrario a las manecillas del reloj, ya que son perpendiculares al ser su producto punto 0.

Y de igual manera el ángulo que está entre F* y la tangente T es el mismo que hay entre F y la normal n. Además F*= F

Entonces
F*∙T=F* Tcosθ=F cosθF∙n= F ncosθ=F cosθ

Y como su producto punto es igual, se puede decir que

C(F*∙T) ds= C(F ∙n) ds(2)
Y si remplazamos 1 en 2, obtenemos

C(F ∙n) ds= CF * ∙ds

EXERCISES 1028 - 1030

En los ejercicios 9-10, utilice el teorema de Stokes para calcular el flujo de curva (F) a través de la superficie dada.

9. F = (z, y, x), la semiesfera x2 + y2 + z2 =1, x ≥ 0

Primero parametrizamos la semiesfera x2 + y2+ z2=1 de la siguiente manera:

φ ϕ,θ=( sen ϕcosθ, sen ϕsen θ , cosϕ)0≤ϕ≤π -π2 ≤θ≤π2

Luego definimos el vector normal n a partir del cálculo Tu , Tv

Tϕ=(cos ϕcosθ, cos ϕsen θ , -sen ϕ) Tθ=(-sen ϕsenθ, sen ϕcos θ , 0)

n ϕ,θ= Tϕ×Tθ= ijkcos ϕcosθcos ϕ sen θ –sen ϕ-sen ϕsenθ sen ϕcos θ0

= sen ϕ (sen ϕcosθ, sen ϕsen θ , cos ϕ)

Ahora aplicamos el teorema de Stokes, entonces:

∇×F=curl F= ijkddx∂∂y ∂∂zz yx

=ddyx- ddzyi+ ddzz- ddxxj+ddxy-...