Calculo practicas maple

Hemos realizado tres ejemplos de los cuales uno es una función senoidal, otra polinómica y una exponencial.

Función Polinómica

La primera función que hemos escogido es F(x) [pic] [pic] en el intervalo [-2,2].

Hemos escogido una función cuyo máximo exponente sea 4 porque al poner 5 puntos de soporte el error producido entre la aproximación de Lagrange y la función es 0.

Tres puntos desoporte

> restart;
> f:=x->(x^4)+2*(x^3)-5*x+4;
[pic]

Hemos escogido como puntos de soporte los números -2, 0, y 2 .

> for i from 0 to 2 do
> x[i]:=-2+i*2
> od;
[pic]
[pic]
[pic]

Cuyos valores son :

> f[0]=f(-2);
[pic]
> [pic]
[pic]
> [pic]
[pic]

Los polinomios de base de Lagrange son:

> for i from 0 to 2 do
>L[i]:=product((x-x[j])/(x[i]-x[j]),j=0..i-1)*product((x-x[k])/(x[i]-x[k]),k=i+1..2)
> od;
[pic]
[pic]
[pic]

El polinomio interpolador de Lagrange es:

> lagr1:=sum(f(x[p])*L[p],p=0..2);
[pic]
Simplificamos la función:

> normal(lagr1);
[pic]

Ahora representamos la gráfica. La función verde es F(x), y la roja la función de aproximación de Lagrange.

> plot({f(x),lagr1},x=-5..5,y=0..90);
[pic]
Restamos las dos funciones paracalcular el polinomio del error.

> Error:=f(x)-lagr1;
[pic]
> normal(Error);
[pic]

La cota de error es :

> [pic]
[pic]
> [pic]
[pic]

Calculamos el máximo de la función F(X):

> maximoF:= maximize(g(x),x=-2..2);
[pic]
> simplify(maximoF);
[pic]

Realizamos la tercera derivada:

> deriva:= diff(f(x),x$3);
[pic]

Calculamos el máximo de la tercera derivada:

> maximoD:=maximize(deriva, x=-2..2);
[pic]

Averiguamos la cota máxima del error.

> [pic]
[pic]
> [pic]
[pic]

Cuatro puntos de soporte

> restart;
> f:=x->(x^4)+2*(x^3)-5*x+4;
[pic]

Hemos escogido como puntos de soporte :

> for i from 0 to 2 do
> x[i]:=i-2;
> od;
> x[3]:=2;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

Cuyos valores son:

[pic]
> f[0]=f(-2);
[pic]
> [pic]
[pic]
> [pic][pic]
> [pic]
[pic]

Los polinomios de la base de Lagrange son:

> for i from 0 to 3 do
> L[i]:=product((x-x[j])/(x[i]-x[j]),j=0..i-1)*product((x-x[k])/(x[i]-x[k]),k=i+1..3)
> od;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

El polinomio interpolador de Lagrange es:

> lagr2:=sum(f(x[p])*L[p],p=0..3);
[pic]

Simplificamos la función :

> normal(lagr2);
[pic]

A continuación procedemos arepresentar la gráfica con las función y la función de aproximación:

La función representada con una línea roja es la función F(x), y la función representada en color verde es la función de aproximación.

> plot({f(x),lagr2},x=-5..5,y=0..30);
[pic]

Restamos las dos funciones para calcular el polinomio del error.

> Error:=f(x)-lagr2;
[pic]
Simplificamos la función:

> normal(Error);
[pic]La cota de error es:

[pic]
> [pic]
[pic]

Calculamos el máximo de la función F(X):

> [pic]
[pic]
[pic]
> simplify (maximoF);
[pic]

Realizamos la cuarta derivada:

> deriva:= diff(f(x)$$,x$4);
[pic]

Calculamos el máximo de la cuarta derivada:

> maximoD:= maximize(deriva, x=-2..2);
[pic]

Hallamos la cota de error:

> [pic]
[pic]
> [pic]
[pic]

Cinco puntos desoporte

> restart;
> f:=x->(x^4)+2*(x^3)-5*x+4;
[pic]

Hemos añadido el punto 1, de esta forma tenemos 5 puntos de soporte:

> for i from 0 to 4 do
> x[i]:=-2+i*1
> od;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

El resultado de la function con esta fórmula serán:

> f[0]=f(-2);
[pic]
> [pic]
[pic]
> [pic]
[pic]
> [pic]
[pic]
> [pic]
[pic]

Los polinomios de base de Lagrange son:> for i from 0 to 4 do
> L[i]:=product((x-x[j])/(x[i]-x[j]),j=0..i-1)*product((x-x[k])/(x[i]-x[k]),k=i+1..4)
> od;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
El polinomio interpolador de Lagrange es:

> lagr3:=sum(f(x[p])*L[p],p=0..4);
[pic]

Simplificamos la función

> normal(lagr3);
[pic]

Representamos la función , la función y la función de aproximación se superponen como indicamos al...