Calculo Vectorial

Tema 8. Funciones vectoriales de
variable real.

8.1 Curvas y ecuaciones paramétricas. Cálculo en
paramétricas.
8.2 Funciones vectoriales: límite, continuidad,
derivación e integración.
8.3 Curvas en coordenadas polares.
Anexo: cónicas.

E. U. Politécnica de Sevilla. Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Electricidad,
Electrónica y Mecánica. Curso 2007-08.

8.1 Curvas en elplano y ecuaciones paramétricas
Definición
Si x (t ) e y (t ) son funciones continuas de t en un intervalo I , el conjunto de
pares ( x, y ), con x = x (t ), y = y (t ) se denomina curva plana C . La variable
⎧ x = x (t )
t se llama parámetro y las ecuaciones ⎨
, se denominan ecuaciones
⎩ y = y (t )
paramétricas de C . Diremos que C es una curva suave si x (t ) e y (t ) son
continuas y no seanulan simultáneamente, excepto quizás en los extremos de I .

.
Teorema (derivada)
Si C es una curva suave dada por las ecuaciones x = x (t ), y = y (t ),
entonces la pendiente de C en ( x , y ) es:
dy y '(t )
=
, siendo x '(t ) ≠ 0.
dx x '(t )
Teorema (longitud de arco)
Si C es una curva suave dada por las ecuaciones x = x (t ), y = y (t ) que no
se corta a sí misma en [t1 , t2 ](excepto quizás en los puntos terminales),
la longitud de C en ese intervalo viene dada por:

s=∫

t2

t1

( x '(t ) ) + ( y '(t ) ) dt
2

2

Teorema (área)
Si C es una curva suave dada por las ecuaciones x = x (t ), y = y (t ) para,
t1 ≤ t ≤ t2 , siendo y una función de x continua y monótona en [a, b],
a = x(t1 ) y b = x(t2 ) el área bajo la curva C viene dada por:
b

t2

at1

A = ∫ ydx = ∫ y (t ) x '(t )dt

Curvas en paramétricas

x = 2t − 2 sen t
y = 2 − 2 cos t

cicloide
t ∈ [ −4π , 4π ]

x = sen 3 t

astroide

y = cos3 t

t ∈ [0, 2π ]

x = 1− t
y = t 3 − 3t

x = 2t − π sen t
y=2-π cos t

t ∈ [ −π , π ]

cicloide prolata
t ∈ [ −π , π ]

involuta de un círculo
x = 5 cos t − cos 5t
y = 5 sen t − sen 5t

epicicloide

x = cos t +t sen t

t ∈ [0, 2π ]

y = sen t − t cos t

t ∈ [0, 6π ]

8.2 Funciones vectoriales: límite, continuidad,
derivación e integración.
Podemos representar una curva en el plano o en el espacio por medio de
una función vectorial.
r
r
r
r (t ) = f (t )i + g (t ) j

tiene por gráfica una curva plana C de ecuaciones

⎧ x = f (t )
⎩ y = g (t )

paramétricas : ⎨

r
r
r
r
r (t) = f (t )i + g (t ) j + h(t )k tiene por gráfica una curva en el espacio C de
⎧ x = f (t )
de ecuaciones paramétricas : ⎪ y = g (t )
⎨
⎪ z = h (t )
⎩

Propiedades:
r
r
r
r
1.- lim r (t ) = lim f (t ) i + lim g (t ) j + lim h(t ) k
t →a
t →a
t →a
t →a
r
r
r
2.- r es continua en t = a si lim r (t ) = r ( a ).
t →a
r
r es continua en un intervalo I si es continua en todos lospuntos de I.
r
3.-La curva C representada por r se dice que es suave en un intervalo I
r
si f ', g ' y h ' son continuas en I y r '(t ) ≠ 0 para todo t ∈ I .
r
r
r
r
4.- Si f , g y h son derivables entonces r '(t ) = f '(t )i + g '(t ) j + h '(t )k
5.- Si f , g y h son funciones continuas de t en [a, b] entonces
r
r
r
r
r (t )dt = ∫ f (t )dt ) i + ∫ g (t )dt j + ∫ h(t )dt k
∫

∫b

a

r
r b
r b
r
b
r (t )dt = ∫ f (t )dt i + ∫ g (t )dt j + ∫ h(t )dt k
a

a

a

Propiedades de la derivación:
1.2.3.4.5.6.7.-

r
r
d
(c ⋅ r (t )) = c ⋅ r '(t )
dt
r
r
r
d r
(r (t ) ± u (t )) = r '(t ) ± u '(t )
dt
r
r
r
d
( f (t )u (t )) = f '(t )u (t ) + f (t )u '(t )
dt
r
r
r r
d r r
(r (t ) u (t )) = r '(t ) u (t ) + r (t ) u '(t )
dt
r
r
r
rr
d r
(r (t ) ∧ u (t )) = r '(t ) ∧ u (t ) + r (t ) ∧ u '(t )
dt
r
d r
r ( f (t )) = r '( f (t )) f '(t )
dt
r r
r ur
Si r (t ) r (t ) = c, entonces r (t ) r '(t ) = 0

Velocidad y aceleración:

r
r
r
r
Si x, y , z son funciones de t derivables dos veces y r (t ) = x (t )i + y (t ) j + z (t )k

los vectores velocidad y aceleración son:
r
r
r
r
r
v (t ) = r '(t ) = x '(t...