Calculo Vectorial

APLICACIONES DE FUNCIONES VECTORIALES
Las funciones vectoriales son aquellas cuyo dominio es un conjunto de números reales tales que su contra dominio es un conjunto de vectores.
x= f (t) x=g (t) x=h (t)
A continuación mencionaremos las aplicaciones de las funciones vectoriales, estas se aplican en:
*Geometría
*Física
* Ingeniería
Las aplicaciones geométricas incluyen la longitud de arco,vectores tangentes, normales a una curva y curvatura.
En las aplicaciones de física e ingeniería se emplean los vectores para estudiar el movimiento de la partícula a lo largo de una curva, al cual se le denomina movimiento curvilíneo.
DEFINICION DE FUNCION VECTORIAL:
Sean f, g y h, funciones reales de la variable real t. Entonces se define la funcion vectorial R mediante:
R (t)= f (t) i + g(t) j + h (t) k
Donde t es un número real del dominio común de f, g y h. En el plano, se define una función vectorial R mediante:
R (t)= f (t) i + g (t) j
Donde t pertenece al dominio común de f y g.
Por ejemplo:
R (t)= f (t) i + g (t) j
R (t)= (4-t2)i + (t2+4t) j
x = 4 – t 2 y = t 2 + 4 t

La ecuación vectorial de una curva proporcionada a una dirección a la curva en cada punto. Esto sise piensa que la curva esta descrita por una partícula, se puede considerar la dirección positiva a lo largo de la curva como la dirección en la que la partícula se mueve a medida que el parámetro t aumenta. En tal caso, t puede ser una medida de tiempo, de modo que el vector R (t) se le llama vector de posición.
Al eliminar t de las ecuaciones paramétricas se obtiene dos ecuaciones en x , y y z,son ecuaciones cartesianas de la curva C. La gráfica de la ecuación cartesiana es una superficie, y C es la intersección de dos superficies. Las ecuaciones de cuales quiera dos superficies que contienen C pueden considerarse como las ecuaciones que definen C.
Por lo tanto, la función vectorial R es continua en cada número de su dominio.
VECTOR TANGENTE UNITARIO
Ahora se asociarán a cada puntode una curva de dos vectores, el vector tangente unitario y el vector normal unitario. Estos vectores aparecen en muchas aplicaciones de las funciones vectoriales.
DEFINICION DE VECTOR TANGENTE UNITARIO
Si R(t) es el vector de posición de una curva C en el punto P de C el Vector Tangente Unitario de C en P, denotado por T(t), es el vector unitario en la dirección de Dt R(t) si Dt R(t) ≠ 0.
Comoel vector unitario en la dirección de Dt R(t) está dado por Dt R(t) / || Dt R(t||, entonces:

CURVATURA
Es un proceso importante en el estudio de la geometría diferencial y del movimiento rectilíneo. Dicho concepto proporciona la tasa de variacion o cambio de la dirección de una curva con respecto a la variacion en su logitud.
El estudio de la curvatura se inicia en la curva plana C, y seconsidera que Ø radianes es la medida del ángulo, medido en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, desde la dirección del eje x positivo hasta la dirección del vector tangente unitarioT(t) en el punto P de C.
A continuación veremos un ejemplo de ello en el cual se muestra Ø y T(t) donde s unidades es la longitud del arco a partir de un punto P0 de C hasta P. En el punto Q de C, lamedida en radianes del ángulo que determina la dirección de T(t+ ∆t) es Ø + ∆Ø y s + ∆s unidades es la longitud de arco de P0 a Q.

DEFINICION DEL VECTOR CURVATURA Y CURVATURA
Si T(t) es el vector tangente unitario a una curva C en un punto P, s es la longitud de arco medida desde un punto P de C elegido arbitrariamente y s crece conforme t se incrementa, entonces el vector curvatura de C en P,denotado por K(t ) se define como:
K(t )=DsT(t)
La curvatura de C en P, denotado por K(t ), es el modulo del vector curvatura esto es:
K(t )=||DsT(t) ||con el fin de obtener el vector curvatura para una curva particular conviene tener una fórmula que exprese el vector curvatura en términos de las derivadas con respecto a t, esto es por medio de la regla de la cadena:
MOVIMIENTO CURVILÍNEO...