calculo vectorial

4.1 Definición de serie
Una serie es una sucesión de un conjunto de términos formados según una ley determina.
Por ejemplo:                              1, 4,  9,  16,  25
Es la suma indicada de los términos de una secesión. Así de las sucesiones anteriores obtenemos la serie: 1 + 4 + 9 + 16 + 25
Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión o serie es finita. Cuando elnúmero de términos es ilimitado, la sucesión o serie se llama sucesión infinita.
El término general  ó término enésimo es una expresión que indica la ley de formación de los términos.
4.1.1  FINITA
Sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término (que no sea el primero) y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8,16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón 2; y 1, 1, 3, 7, 9, >, … (1)i, es una progresión geométrica con razón 1.
La primera es una progresión geométrica finita con siete términos; la segunda es una progresión geométrica infinita. En general, una progresión geométrica se puede describir utilizando la siguiente notación: a es el primer término, la razón es r y, en una progresiónfinita, n es el número de términos. Una progresión geométrica finita se escribe formalmente como.
Sea f la función definida por f(x)= 2m; m" {1, 2, 3,4}
f(1)= 2x1=2
f(2)= 2x2=4
f(3)= 2x3=6
f(4)= 2x4=8
(2, 4, 6,8)
f(x)= 2m; m" { 1,2,3,4} es una serie finita donde m pertenece a cualquier número del intervalo [1,4]

4.1.2  INFINITA
En un lenguaje sencillo, una serie a1+ a2+ a3+ a4… es unaregla ordenado de número reales, uno para cada entero positiva, es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos y cuyo rango es un conjunto de números reales. Podemos indicar una sucesión mediante a1, a2, a3… mediante a(n) infinito=1, en algunos casos, extenderemos este concepto permitiendo que el dominio conste de todos los enteros mayores o iguales a un entero específico como en b1,b2, b3… y c8, c9, c10…. Que denotamos como {b(n) infinito=0} y {c(n) infinito=8, respectivamente.
Se puede especificar una sucesión dando suficientes términos iniciales para establecer un patrón como en: 1, 4, 7, 10, 13…
Mediante una fórmula explícita para el n-ésimo término, como en:
A(n)=3(n)-2,  n >1.
4.2 Serie numérica y convergencia, prueba de la razón y de la raíz
Sabemos queuna serie es convergente cuando | r | < 1 , y divergente para otros valores. ahora vamos explicar un criterio que usa la razón de un término al precedente y que puede aplicarse a cualquier serie.
Teorema: sea U1+U2+U3+.......+Un+Un+1+....
Una serie infinita de términos positivos. Consideremos dos términos generales consecutivos Un y Un+1 , y formemos la razón de un término cualquiera alanterior , o razón de D" Alembert:
Razón de D'Alembert= Un+1/ Un

4.3 Series de potencia
Una serie cuyos términos son monomios de potencia entera, positivas y ascendentes de una variable digamos X , de la forma : en donde a0 a1 a2,... son independientes de X , se llama una serie de potencia X .
Una serie de potencia X puede converger para todos los valores de x, o para ningún valor conexcepción de x=0 y ser divergente para otros valores.

4.4 Radio de Convergencia

El número R  se denomina radio de convergencia de la serie

Por convención, el radio de convergencia es R = O en el caso
El intervalo de convergencia de una serie de potencias consta de todos
para los cuales la serie converge.
Donde Cualquier x es un punto extra,
(esto es, x = a ± R) puede suceder cualquiercosa: la serie puede converger para 
ambos puntos extremos o divergir en ellos.
Un Ejemplo Muy claro de esto es el cálculo del Número e

que al igual que pi, es una serie infinita de términos, pero que se calcula con la serie:




y como "x" pertenece a todos los reales, pues tiene un radio de convergencia infinito, ya que su dominio de dicha "x", es E (R).

4.5 Serie de Taylor....