calculo

CAPITULO I

CALCULO DIFERENCIAL DE
FUNCIONES DE IRn EN IRm

I.- Algunas Nociones Topológicas en R n
a) El Espacio R n .
Rn

^x ( x1 ,..., xn ) : xi  R`
Rn

es un espacio vectorial sobre R al definir las
operaciones:
Adición:

Producto por escalar:

R uR  R
o
( x, y ) o x  y
x  y ( x1  y1 ,....., xn  y n )
n

n



R u Rn o Rn
(O , x) o O x,
O x (O x 1 ,..., Ox n ).

n

2

b) Producto Escalar en R n .

Notas
x (R n ,  , . ) es un espacio vectorial con VECTOR

Si x ( x1 ,..., xn ), y ( y1 ,..., y n )  R n

NULO T (0,...,0) .

El producto escalar x ˜ y (o también denotado por x, y )
es el número real definido por:

x Para x ( x1 ,..., xn )  R n , el OPUESTO de x,  x, es
el vector  x (x1,.....,  xn ).

3

x ˜ y x1 y1 ....xn yn.

4

Propiedades del Producto Escalar:

c) Norma Euclidiana.

Para todo x, y, z  R n , s, t  R se tiene:

Para x  R n se define

1) x ˜ y y ˜ x

x

2) x ˜ x t 0

( x ˜ x )1 / 2 ,

y se llama la Norma Euclidiana del vector x .

3) x ˜ x 0 œ x 0

x

Notar que
n

4) x ˜ ( sy  t z ) s ( x ˜ y )  t ( x ˜ z )

¦x

x

2

i

i 1

5

6

Propiedades dela Norma.
Cualesquiera que sean p, q  R n , O  R :
1) p t 0

Sea f : R 3 o R tal que

2) p 0 œ p 0
3) O p

O p

f ( x, y , z )

4) p  q d p + q
5)

Ejemplo:

xyz
­
si ( x, y, z ) z (0,0,0)
° 2
® x  y2  z2
°
0
si ( x, y, z ) (0,0,0)
¯

Determine k  R y n  N tales que:

i {1, 2,, n}, pi d p

6) p ˜ q d p q (Desigualdad de Schwarz)
7

P  R 3 : f ( P) d kP

8

n

Observacion:

Ejemplos:

x Cualquier función N : Rn oR que verifica las

Son normas sobre R n

propiedades 1, 2, 3 y 4 del Teorema anterior se

x
x N1(x1,..... n ) max^ x1 ,...xn

llama una norma sobre R .
n

`

x N2 (x1,...xn ) x1  .... xn

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10

Propiedades de la Distancia.

d) Distancia Euclidiana.

Cualesquiera que sean p, q, r  R n :DEFINICION:
Sean p, q en R n . Se llama Distancia Euclidiana,

d( p, q), al número:

1) d ( p, q) 0 œ p q
2) d ( p, q) d (q, p) t 0

pq

d ( p, q )

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3) d ( p, q) d d ( p, r )  d (r , q) (desigualdad triangular)

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Teorema.

e) Vectores Ortogonales.

Si n 2 o n 3
Definicion:
Para x, y  R n ,
n
Sean p, q  R .

x˜ y

Se dice que p y q son Ortogonales si:
p ˜q

0

xy cosT

Donde T es el ángulo que forman los vectores x e y .

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f) Funciones de IR en IR .

iii. Si m n , diremos que f : A Ž R n o R m es un Campo
Vectorial en R n .

Definicion:

iv. Si n 1 y A es un intervalo abierto de R , diremos que
f es una Curva Parametrizada en R m .

Sea f : A Ž R n o R m .

v. Se llama Gráfico de f , y se denota por G f , al
subconjunto de Rn u R m definido por:

n

m

i. Si m ! 1 y n t 1 se dice que f es una Funcion
Vectorial.
En tal caso, x  A, f  x  ( f1  x , f 2  x , , f m  x  ) .
f i : i – ésima función componente
ii. Si m 1, se dice que f es una Función Escalar (o
Real).
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Gf

^( p, q)  R

n

u Rm : q

f ( p )`.

x Para m 1 y n 1 o 2, G f se puede representar
geométricamente.

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vi.Si m 1 y c  R al conjunto
N (c )

^p  A : f ( p ) c`

se llama Conjunto De Nivel de f.
x Si m

2 , N (c) se denomina Curva de nivel

x Si m 3 , N (c) se denomina Superficie de nivel

Ejemplo 1:
Sea f : R 2 o R, f ( x, y ) x 2  y 2
1) G f se representa geométricamente en R 3 .
G f ^( x, y, x 2  y 2 ) : ( x, y )  R 2 `.
2) G f se llama paraboloide de revolución. Es unasuperficie en R 3 .

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3) Los conjuntos de nivel N c de f es:
i. Para c < 0, N c I
ii. Para c 0, N c ^(0,0)`
iii. Para c > 0, N c es una circunferencia de
centro (0,0) y de radio c .

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Ejemplo 2:
Sea g : R 3 o R ,

g( x, y, z) x 2  y 2  z 2

1) Para c > 0, el conjunto N c es la superficie de
ecuación x 2  y 2  z 2 c .
Notar que x 2  y 2 t c .
Nc

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se...