calculo

GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO
Prof: Francisco Arias Dominguez

| Rectas y Planos en el Espacio.
N Ecuación de la Recta en el Espacio.
Sea P0 (x0 ; y0 ; z0 ) un punto de la recta L. Hallemos la ecuación de la
recta L paralela al vector de dirección ! = ha; b; ci. Luego, cualquier
v
otro punto P (x; y; z) está sobre la recta L si, y sólo si los vectores
! k P !, en cuyo caso
v
0P
!P0 P = !, para algún
v

2 R:

(1)

!
!
Si ! = OP0 y ! = OP son los vectores de posición de los puntos
r0
r
P0 y P , respectivamente, entonces
! = ! + P!
r
r0
0P
Por lo tanto, se tiene
!=!+ !
r
r0
v

(2)

que es la ecuación vectorial de la recta L en el espacio.
Ahora, como ! = hx0 ; y0 ; z0 i y ! = hx; y; zi, la ecuación (2) produce
r0
r
las tres ecuaciones escalareshx; y; zi = hx0 ; y0 ; z0 i + ha; b; ci

1

entonces

8
> x = x0 + a
>
>
>
<
y = y0 + b
>
>
>
>
:
z = z0 + c

(3)

que son las ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por el
punto P0 (x0 ; y0 ; z0 ) y es paralela al vector ! = ha; b; ci.
v
Ahora, si todos los coe…cientes a, b y c son distintos de cero y despejando
en cada una de las ecuaciones paramétricas elparámetro , se obtiene:
x

x0
a

=

y

y0
b

=

z

z0
c

que son las ecuaciones simetricas de la recta L:

Ejemplos: Escriba las ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa
por los puntos P1 (1; 2; 2) y P2 (3; 1; 3):
!
Sugerencia: de…namos ! := P1 P2 :
v

Notas:
i) Dadas dos rectas L1 y L2 con ecuaciones paramétricas
L1 : fx = x1 + a1 , y = y1 + b1 , z = z1 + c1
y
L2 :fx = x2 + a2 , y = y2 + b2 , z = z2 + c2 :
Entonces:
a) ¿L1 k L2 ?:
Tenemos que
L1 k ! = ha1 ; b1 ; c1 i y L2 k ! = ha2 ; b2 ; c2 i ;
v1
v2
entonces
L1 k L2

()
2

! = !:
v1
v2

b) ¿L1 , L2 ?:
Podemos tratar determinar un punto de intersección resolviendo las
ecuaciones
x 1 + a1 = x 2 + a2
para
y :
Si estos valores de

y

y

y1 + b1 = y 2 + b2

satisfacen laecuación
z1 + c1 = z2 + c2 ;

entonces hemos encontrado un punto de intersección.
c) Dos rectas no paralelas y que no se intersecan en el espacio son rectas
ajenas.
d) Dos puntos distintos determinan una recta. Esto es, Si P 6= Q, existe
una y sólo una recta que contiene P y Q. Puede describirse como el
conjunto
fP + (Q P )g:
Ejercicios:
1) Determine las ecuaciones paramétricas y simétricas dela recta L que
pasa por los puntos P0 (3; 1; 2) y P1 (4; 1; 1). Determine tambien los
puntos donde L interseca los tres planos coordenados.
2) Una recta L de R3 contiene al punto P ( 3; 1; 1) y es paralela al vector
h1; 2; 3i. Determinar cuáles de los siguientes puntos estan en L:
a) (0; 0; 0),

b) (2; 1; 4),

c) ( 2; 1; 4),

d) (2; 9; 16):

3) Una recta pasa por el punto P (1; 1; 1)y es paralela al vector
! = h1; 2; 3i. Otra recta pasa por Q(2; 1; 0) es paralela al vector
a
!
b = h3; 8; 13i. Demostrar que las dos rectas se cortan y determinar
su punto de intersección.
4) Determinar si se cortan o no las dos rectas siguientes en R3
L1 : f(1; 1; 1) + ( 2; 1; 3)g
L2 : f(3; 4; 1) + ( 1; 5; 2)g:

3

N Ecuación del Plano en el Espacio.

Un plano es una variedadlineal de dos dimensiones, y queda
determinado por:
a) Un punto P0 (x0 ; y0 ; z0 ) y un vector perpendicular al plano ! = ha; b; ci :
n
b) Un punto P0 (x0 ; y0 ; z0 ) y 2 vectores paralelos al plano ! = hvx ; vy ; vz i,
v
! = hu ; u ; u i no proporcionales. ! = ! !:
u
n
v
u
x
y
z
c) Tres puntos no colineales P0 (x0 ; y0 ; z0 ), P1 (x1 ; y1 ; z1 ) y P2 (x2 ; y2 ; z2 ).
!
!
!=P P , !=PP :
v
u
0 1
1 2
Formas de Representar un Plano en el Espacio.
a) Sean P0 (x0 ; y0 ; z0 ) un punto en y ! = ha; b; ci un vector normal
n
al plano . El punto P (x; y; z) está en el plano si y sólo si, los vectores
! y P ! son perpendiculares, esto es
n
0P
! P! = 0
n
0P
!
!
!
pero P0 P = ! !, donde ! = OP0 y ! = OP son los vectores de
r
r0
r0
r
posición de los puntos P0 y...