Calculo

CAPÍTULO 11

820

Vectores y la geometría del espacio

11.6 Ejercicios
c)

En los ejercicios 1 a 6, asociar la ecuación con su gráfica. [Las
gráficas están marcadas a), b), c), d), e) y f).]
)

)

z

a

d)

z

b

6

y

3
2

4

x

2

3
x

56

4

y

4

y

x

−3

x

Figuras para 17
CAS

18.

Usar un sistema algebraico por computadora pararepresentar
gráficamente el cilindro y ϩ z ϭ desde cada punto.
͒
a) ͑
͒
b) ͑
͒
c) ͑
2

)

)

z

c

z

d

4

10, 10, 10

2

5

x

)

x

)
3
2

4

1.
3.
5.

x
4
4

5

−3

2

9

y

4

x

ϩ

y

2

4

4

y

z

ϭ1

2.

4. y ϭ 4 x ϩ 9z

2

2

2

x Ϫ y ϩ 4z ϭ 4
2

2

6.

2

x Ϫ 4y ϩ z ϭ 0

2

x Ϫ 4y ϩ15z ϭ Ϫ 4

15

4

2

2

9. y 2
11. x 2
13.

4x2

15. z
17.

5

y
y2

9
0

sen y

10. x 2
12. y 2

4
0

14. y 2
16. z

2

z2
z
z2

ey

25
6
16
0

CAS

9y 2

9x2

2

.

26. z

9z 2

y2

x2
y2

2

1

4

x2

28. 3z

16z 2

z2

1
16 25 25
8x2 18y2 18z2

24. z 2

4y 2

x2

2y 2

2z 2

32x 36y 36 0
54x 4y54z 4 0

37. x 2

2 cos x
x 2 7.5y 2
2 2
2

39. z

10

35. z 2

y

41. 6x2

34. z
36.

xy

4y2

40. z

6z2

42. 9x 2

36

0.5y 2

x2

3.25 y

38. x 2

z

Para pensar

2

y2

30. x 2

9

y2

x2

En los ejercicios 33 a 42, usar un sistema algebraico por computadora para representar gráficamente la superficie. (Sugerencia: Puede ser necesariodespejar z y considerar dos ecuaciones
al representar gráficamente la superficie.)
33. z

Las cuatro figuras son gráficas de la superficie
cuádrica z ϭ x ϩ y Asociar cada una de las cuatro gráficas con
el punto en el espacio desde el cual se ve el paraboloide. Los cuatro puntos son (0, 0, 20), (0, 20, 0), (20, 0, 0) y (10, 10, 20).
z
z
a)
b)

y2

x2

22.

0
0

z

32.

2

xϪ y ϩ 4z ϭ 0

8. z

z2

y2

4

1

z2
z2

31. 16x 2

2

En los ejercicios 7 a 16, describir y dibujar la superficie.
7. y

y2
y

29. z 2

2

9

4x2

20.

16z 2

y2

27. x 2

2

ϩ

16x 2

4

1

z2

25. x 2

x

2

16

21.
23.

2

y2

19. x 2

z

f

3
2
1
3

En los ejercicios 19 a 32, identificar y dibujar la superficiecuádrica. Usar un sistema algebraico por computadora para confirmar su dibujo.

y

6

y

z

e

4

0, 10, 0

2

−5

2

10, 0, 0

4

4

z

x2
y2

8

z2

e
x
x2

4y 2

z

y2

8z 2

72

En los ejercicios 43 a 46, dibujar la región limitada por las gráficas de las ecuaciones.
43. z ϭ 2Ίx ϩ y
2

44. z ϭ Ί4 Ϫ x

,

,

zϭ2

y ϭ Ί4 Ϫ x

2

,45. x ϩ y ϭ 1, x ϩ z ϭ 2, z ϭ
2

y

2

2

x

y

2

46. z ϭ Ί4 Ϫ x Ϫ y
2

2

,

x ϭ 0, y ϭ 0, z ϭ 0
0

y ϭ 2z, z ϭ 0

SECCIÓN 12.1

Funciones vectoriales

839

12.1 Ejercicios
En los ejercicios 1 a 8, hallar el dominio de la función vectorial.
1. r t

1
1

t

t
j
2

i

3tk

En los ejercicios 21 a 24, asociar cada ecuación con su gráfica.
[Lasgráficas están marcadas a), b), c) y d).]
z

a)

3. r͑t͒ ϭ

ti Ϫ e j Ϫ tk

ln

4 cos

4

2

2

t

sin
4. r͑t͒ ϭ sen t i ϩ

z

b)
4

2. r͑t͒ ϭ Ί4 Ϫ t i ϩ t j Ϫ 6t k
2

2

tj ϩ tk

5. r͑t͒ ϭ F͑t͒ ϩ G͑t͒ where
donde

−2

F͑t͒ ϭ cos t i Ϫ sen t j ϩ Ίt k,
sin

G͑t͒ ϭ cos t i ϩ sen t j
sin

z

c)

G͑t͒ ϭ i ϩ 4 t j Ϫ 3t k

2

−2

y

2

2

x

x6. r͑t͒ ϭ F͑t͒ Ϫ G͑t͒ where
donde
F͑t͒ ϭ ln t i ϩ 5t j Ϫ 3t k,

y

2
4

z

d)

2

7. r͑t͒ ϭ F͑t͒ ϫ G͑t͒ where
donde

1

4

F͑t͒ ϭ sen t i ϩ cos t j, G͑t͒ ϭ sen t j ϩ cos t k
sin
sin
2

where
8. r͑t͒ ϭ F͑t͒ ϫ G͑t͒ donde

F͑t͒ ϭ t i Ϫ t j ϩ t k, G͑t͒ ϭ Ίt i ϩ
3

3

1

tϩ1

j ϩ ͑t ϩ 2͒ k

1

En los ejercicios 9 a 12, evaluar (si es posible) la...