calculo

Capítulo 2

Elementos de Geometría Analítica
Plana
Podemos decir que la geometría analítica es un área de la matemática que permite
unificar los métodos de la geometría y del álgebra para resolver diferentes problemas y
situaciones matemáticas. Así, los métodos a utilizar son los métodos analíticos; es decir, en
la solución de problemas geométricos usamos las técnicas y los métodosalgebraícos.
Recordemos que los números reales fueron representados geométricamente por la recta
real; es decir, como puntos de una recta

Recordar que si x, y ∈ R, entonces la distancia entre ellos está dada por |x − y| = |y − x|.
Como parte del nombre de este capítulo lo indíca, nuestro trabajo ahora será en el plano,
el cual representara, unívocamente, al conjunto R2 = R × R.

2.1.

El PlanoCartesiano

Un concepto fundamental en la geometría analítica es el de Sistema de Coordenadas.
En este sistema de coordenada representaremos el conjunto R2 , el cual se define como
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} .
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Es decir, R2 es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales de la forma
(x, y).
Observación 40 Recordar que (x, y) es un par ordenado, lo que quiere decir que
(x1 ,y1 ) = (x2 , y2 )

s´, y s´lo s´, x1 = x2 ∧ y1 = y2 ,
ı
o
ı

(x1 , y1 ) = (x2 , y2 )

s´, y s´lo s´, x1 = x2 ∨ y1 = y2 .
ı
o
ı

y por lo tanto

Cada elemento del conjunto R2 lo representamos geométricamente como un punto del
plano y, recíprocamente, cada punto del plano representa un elemento de R2 . Por lo tanto,
si (x, y) ∈ R2 , decimos que es un punto del plano y los númerosx, y son llamados las

coordenas del punto (x, y). De esta forma, no hacemos mayor diferencia entre los elementos

de R2 y los puntos del plano, considerándolos, de ahora en adelante, como el mismo objeto
matemático. Así, si P es un punto del plano al que le corresponden las coordenadas (x, y),
para especificar esto, escribimos P (x, y).
Dado que R2 es un producto cartesiano, R2 = R × R, ycomo R es representado por

una recta, parece natural representar R2 como un sistema formado por dos rectas perpendiculares, una horizontal, llamada eje de las absisas (o eje X o eje de las x), en el cual se
representa la primera coordenada de los puntos (la abscisa), y otra vertical, llamada eje de
las ordenadas (o eje Y o eje de las y), en el cual se representa la segunda coordenada de
lospuntos (la ordena). Estas rectas perpendiculares forman el llamado Sistema de Coordenadas Cartesianas o Sistema de Coordenadas Rectangulares. Al punto de intersección de
las dos rectas le llamamos Origen del sistema y le asignamos el elemento (o punto) (0, 0).
En el eje X, a la derecha del origen representamos las abscisas positivas y a la izquierda
del origen las abscisas negativas.Similarmente, en el eje Y , arriba del origen representamos
las ordenadas positivas y abajo del origen las negativas. Así, si P es un punto del plano,
entonces le asociamos un par ordenado (x, y), que son sus coordenadas y, como hemos dicho

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antes, escribimos P (x, y) para indicarlo.

Nota: Es usual y conveniente, además de natural, tomar en ambos ejes la misma unidad
de medida, lo que permitemantener ciertas simetrías y regularidades conocidas de la
geometría euclideana.
Ejemplo 41 Graficar los puntos A (3, 0), B (0, 2), C − 1 , 1 , D −2, − 3 , E (3, −1).
2 2
2

Un concepto elemental, pero de importancia fundamental en la geometría analítica, es
el de distancia entre dos puntos

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Teorema 33 (Distancia entre dos Puntos) Sean P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) dos puntos
delplano. Entonces la distancia entre P1 y P2 , denotada por d (P1 , P2 ), es
d (P1 , P2 ) =

(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 .

Demostración. Consideremos la primera figura en la que se representan los puntos P1
y P2 . En cualquiera de los dos casos se aplica la demostración.

En el triángulo P1 CP2 , por ser recto en C, tenemos que
(d (P1 , P2 ))2 = (P1 P2 )2 = (P1 C)2 + (CP2 )2 ,
pero
(P1...