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Tema

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Supremo e ínfimo. Números irracionales

Completamos en este tema la presentación de los números reales, estudiando las propiedades
más importantes de R, las que se deducen del axioma del continuo. Para aplicar cómodamente
dicho axioma usaremos las nociones de supremo e ínfimo, imprescindibles en Análisis.
La existencia de números irracionales será nuestro primer objetivo. Despuésintentaremos
entender la distribución de los números racionales e irracionales sobre la recta real. Finalmente
haremos un breve estudio de los subconjuntos de R que más utilidad tendrán en lo que sigue,
los intervalos, y concluiremos probando que R no es numerable, con lo que quedará claro que
los números irracionales abundan mucho más que los racionales.

4.1.

Supremo e ínfimo

Elaxioma del continuo tiene un significado intuitivo muy claro, pero casi nunca se usa tal
como lo hemos enunciado. Para aplicarlo con más comodidad sirven las nociones que ahora
vamos a presentar.
Dado un conjunto no vacío A ⊂ R, se dice que A está mayorado cuando existe y ∈ R tal que
y a para todo a ∈ A. En tal caso decimos también que y es un mayorante de A, así que A está
mayorado cuando admiteun mayorante. Análogamente decimos que A está minorado cuando
admite un minorante, esto es, un x ∈ R tal que x a para todo a ∈ A. Cuando A está a la vez
mayorado y minorado decimos que está acotado.
Resaltamos la relación entre las nociones de mayorante y máximo o de minorante y mínimo.
La diferencia esencial estriba en que un mayorante o minorante de un conjunto no tiene por qué
pertenecer alconjunto. De hecho, si un conjunto A de números reales tiene máximo, entonces
m´ x A es el único elemento de A que es mayorante de A. Análogamente, el mínimo de un
a
conjunto, si existe, es el único minorante de dicho conjunto que pertenece al mismo.
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4. Supremo e ínfimo. Números irracionales

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Veamos algunos ejemplos sencillos de las nociones recién introducidas.
El conjunto Rno está mayorado ni minorado.
El conjunto R− no está minorado, pero sí está mayorado, el conjunto de sus mayorantes
es R+ y ninguno de ellos pertenece a R− , de ahí que R− no tenga máximo.
0
El conjunto R+ no está mayorado, el conjunto de sus minorantes es R− , 0 = m´n R+ y
ı 0
0
0
− son minorantes de R+ que no le pertenecen.
todos los elementos de R
0
Finalmente, el conjunto A = {a ∈ R: 0 a < 1} está acotado, R− es el conjunto de los
0
minorantes de A y 0 = m´n A. El conjunto de los mayorantes de A es {y ∈ R : y 1} y A
ı
no tiene máximo.
Es obvio que si y es un mayorante de un conjunto A y tomamos z ∈ R con z > y, también
z es mayorante de A, pero al sustituir y por z hemos perdido información. Podríamos decir
que un mayorante es tanto más útil cuanto más pequeño sea, loque nos lleva a preguntarnos
si el conjunto de los mayorantes tiene mínimo. Análogamente, para un conjunto minorado,
podemos preguntarnos si el conjunto de sus minorantes tiene máximo. El axioma del continuo
nos permitirá contestar afirmativamente ambas preguntas:
Teorema (Existencia de supremo e ínfimo). Si A es un conjunto de números reales no vacío
y mayorado, entonces el conjunto de losmayorantes de A tiene mínimo, que recibe el nombre
de supremo del conjunto A y se representa por sup A.
Análogamente, si A es un conjunto de números reales no vacío y minorado, entonces el
conjunto de los minorantes de A tiene máximo, que recibe el nombre de ínfimo del conjunto A
y se representa por ´nf A.
ı
Demostración. En efecto, sea A un conjunto no vacío y mayorado de números reales, y seaB el conjunto de todos los mayorantes de A. Por definición de mayorante tenemos a b para
cualesquiera a ∈ A y b ∈ B. El axioma del continuo nos proporciona un x ∈ R verificando que
a x b, también para todo a ∈ A y todo b ∈ B. Pero entonces está claro que x es mayorante de
A y es menor o igual que cualquier otro mayorante de A, luego es el mínimo del conjunto de los
mayorantes de A, como...