calculo

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

En esta ocasión nos encontramos con una ecuación como la que se muestra
en el renglón de abajo

2x cos y  3x y dx  x
2

3



 x 2 sen y  y dy  0

Nuestro análisis comenzará por preguntarnos si esta ecuación es separable,
como pueden ver es imposible separar la dependencia de x de la de y , se
puede demostrar que la ecuación tampoco eshomogénea, entonces ¿A que
clase de ecuación corresponderá?
En esta sesión trabajaremos otro tipo de ecuación diferencial, pero antes de
esto haremos un par de definiciones importantes
Definición.
Sea F una función de dos variables reales, tal que F tenga primeras
derivadas parciales en un dominio D . La diferencial total dF de la función
F está definida por la fórmula:

dF x, y  

Fx, y 
F x, y 
dx 
dy
x
y

Para todo x, y  D .
Ejemplo
Sea F x, y   x4 y3  2 x2 y una función de dos variables reales, para
determinar el diferencial total de esta función primero encontremos sus
primeras derivadas parciales
F
F
 4 x3 y 3  4 xy ,
 3x 4 y 2  2 x 2 , entonces sustituyendo en la fórmula del
x
y

diferencial total y obtenemos dF  4 x3 y3  4 xydx  3x4 y 2  2 x2 dy

Definición.
La expresión M x, y dx  N x, y dy es llamada un diferencial exacto en un
dominio D si existe una función F de dos variables reales tal que esta
expresión sea igual al diferencial total dF x, y  para todo x, y   D .
Esto es si la primer expresión es un diferencial exacto en D si existe una
función

F tal

que

F x, y 
 M x, y  yx

F x, y 
 N x, y 
y

para todo

x, y   D
Teorema.
Considere la ecuación diferencial
M x, y dx  N x, y dy  0

Donde M y N tienen primeras derivadas parciales continuas en todo punto

x, y  en un dominio rectangular
D , entonces

D , si la ecuación diferencial es exacta en

M N

y
x

Demostración
De la definición de diferencial exacto, existe unafunción F tal que
F x, y 
 M x, y  y
x

F x, y 
 N x, y  , como sabemos que las derivadas de
y

segundo orden cruzadas son iguales, esto es
las expresiones

F x, y 
 M x, y  y
x

 2 F  x, y   2 F  x, y 

entonces
yx
xy

F x, y 
 N x, y  las parcializaremos
y

con respecto a y la primera y la segunda con respecto a x
  F x, y   M x, y  y


y  x  y

  F x, y   


N x, y  como señalamos que
x  y  x



 2 F  x, y   2 F  x, y 
, entonces

yx
xy



M x, y  
N x, y  este de ahora en
y
x

adelante será el criterio que debe satisfacer una ecuación diferencial para
que sea exacta
Ahora volvamos al problema original, como resolveremos la ecuación

2xcos y  3x y dx  x
2

3



 x 2 sen y  y dy  0 , para esto existen un par de métodos

que a continuación describiré

Método estándar
A partir de la ecuación 2 x cos y  3x2 y dx  x3  x2 sen y  y dy  0 primero
veremos si es exacta, para esto aplicaremos el criterio



M x, y  
N x, y  .
y
x



M x, y   2 xsen y  3x 2 
N x, y  Como se cumpledecimos que exacta.
y
x
F x, y 
 M x, y   2 x cos y  3x 2 y
x
y
Debemos encontrar F tal que
entonces
F x, y 
 N x, y   x 3  x 2 sen y  y
y

Tomando la primera expresión
F x, y    M x, y x    y 





  2 x cos y  3x 2 y x    y 
 x 2 cos y  x3 y    y 

Como esta expresión no sólo debe cumplir la primera condición sino
tambiénla

segunda,

por

lo

F x, y 
d  y 
  x 2 sen y  x3 
 N x, y   x3  x 2 sen y  y
y
dy

obtenemos

y2
d
  y evaluando la integral   y     c0
2
dy

tanto

tenemos
simplificando

Sustituyendo este valor en F , tenemos como solución general
y2
F x, y   x cos y  x y 
 c0  C
2
2

3

o

x 2 cos y  x3 y 

y2
C
2...