CALCULO

CURSO:CÁLCULO II


Tema :




Para este punto sería apropiado que recordemos el siguiente resultado:

TEOREMA: LA INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA DE UNA REGIÓN
Si f es continúa en elintervalo cerrado , el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x=a y x=b viene dado por:



Nota:
1. Cuando el área está bajo el eje x, la integraldefinida tiene signo negativo.


I. AREA DE UNA REGION COMPRENDIDA ENTRE UNA CURVA:
Veremos dos casos. El primero de ellos cuando la función depende de y cuando la función depende de .

CASO I:
Sies una función continua en el intervalo entonces el área limitada por la gráfica de, el eje y las rectas verticaleseviene dada por:




CASO II:
Si es una función continua en el intervaloentonces el área limitada por la gráfica de, el eje y las rectas horizontales e viene dada por:



Ejemplos:

1. Hallar el área de la región limitada por la curva, el eje y las restas y .Solución:

Como la función depende de , estamos en el caso I. Entonces el valor del área bajo la curva se determina por:

Donde:
a.
b.
Entonces:


2. Hallar el área de la región limitada entre eleje y por la curva .
Solución:
Hallemos los puntos de intersección de la función con el eje. Para esto hacemos, es decir:



Como la función depende de , estamos en el caso I. Entonces, elvalor del área bajo la curva se determina por:

Donde:
a.
b.
Entonces:


3. Hallar el área de la región limitada por el eje de coordenadas y la curva .
Solución:
Hallemos los puntos deintersección de la función con el eje . Para esto hacemos , es decir:


Como la función depende de , estamos en el caso II. Además, según la gráfica observamos que la función que depende esnegativa, es decir , entonces el valor del área bajo la curva se determina por:

Donde:
a.
b.
Entonces:


4. Hallar el área de la región limitada por la curva y el eje .
Solución:
Hallemos...