calculo



DOCENTE:

ALUMNO: JUAN MANUEL GREGORIO MATAMOROS
MATRICULA: 1407IET057
GRUPO: IVIE3





INVESTIGACIÓN
Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada
Sea f una función continua con ecuación y = f (x), definida en un intervalo [a, b]. La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo [a, b].

En la representación gráfica anterior puedeobservarse la función f es:
1. Creciente en los intervalos] a, x3[,] x5, x6[
2. Decreciente en los intervalos] x3, x5[,] x6, b [
También se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la función f crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función decrece.
Note además que en los puntos (x3, f (x3)), (x5, f (x5)) y (x6, f (x6)) la recta tangente eshorizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir, la primera derivada de la función se anula en cada uno de esos puntos.
En los siguientes teoremas se formalizan las apreciaciones anteriores.
Teorema: Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto] a, b [.
1. Si f 0(x) > 0 para toda x en] a, b [, entonces la función f es creciente en [a, b].
2.Si f 0(x) < 0 para toda x en] a, b [, entonces la función f es decreciente en [a, b].




Valor máximo y valor mínimo de una función
Si f es una función dada, entonces f (c) es un valor máximo relativo de f, si existe un intervalo abierto] a, b [tal que a < c < b y f (c) _ f (x) para x €] a, b [, siendo x un valor del dominio de la función.
Si f (c) ≥ f (x) para toda x en el dominio de f,entonces f (c) es el valor máximo de f o máximo absoluto.
Similarmente, f (c) es un valor mínimo relativo de la función f, si existe un intervalo abierto] a, b [tal que a < c < b y f (c) ≤ f (x) para x €] a, b [, con x en el dominio de f.
Si f (c) ≤ f (x) para toda x en el dominio de f, entonces se dice que f (c) es el valor mínimo de dicha función. También se llama mínimo absoluto.Considere una función f definida en un intervalo] c, d [, cuya representación gráfica es la siguiente:

Note que f (x1), es un máximo relativo y f (x3) es el máximo valor que toma la función en el intervalo en que está definida. Similarmente, f (x4) es un valor mínimo relativo y f (x2) es el mínimo absoluto de la función en] c, d [.
Teorema: Sea c un punto interior del dominio de una función f. Si f(c) es un valor máximo relativo de f y si existe f´(c) entonces f´(c) = 0.
Considere la función f definida por f: [−4,1] R, f (x) = −1/4 (x2 + 4x − 8)
Su representación gráfica es la siguiente:

Puede observarse que cuando x toma el valor de −2 entonces la función tiene un valor máximo. En este caso (−2,3) es precisamente el vértice de la parábola con ecuación: y = −1/4 (x2 + 4x − 8).Según el teorema debe cumplirse que f´ (−2) sea igual a cero.
En efecto, como f´(x) = −1/4 (2x + 4), al sustituir x por -2 se obtiene que f´ (−2) = −1/4(−4 + 4) = 0, que era lo que quería comprobarse.
Teorema: Sea c un punto interior del dominio de una función f. Si f (c) es un valor mínimo relativo de f y si f´(c) existe, entonces f´(c) = 0.
Definición: Sea f una función. Recibe el nombre devalores críticos del dominio de f, aquellos en los que f´(x) es igual a cero o en los que f´(x) no existe.
Observación: Reciben el nombre de valores extremos de una función f los valores máximos relativos y los valores mínimos relativos de f. Dada una función f cuyo dominio es el intervalo K, un valor c € K será un valor crítico de x para la función f si:
a. f´(c) = 0 ó
b. f´(x) no existe óc. c es un extremo del intervalo K.
En este último caso, si K = [a, b] entonces “a” y “b” son valores críticos. Si K = [a, b [o si K = [a,+∞ [entonces “a” es un valor crítico. Si K =] a, b [, o si K =] −∞, b] entonces “b” es un valor crítico. Si K =] a, b [, entonces ni “a” ni “b” son valores críticos (note que los valores extremos de un intervalo abierto no son elementos del intervalo)....