Calculo

Introducción

Las derivadas y las integrales tienen diferentes campos de aplicación, pero en este caso en particular, nos referiremos a los beneficios que se obtienen mediante el uso de las integrales, lo cual fue tema de la clase de Cálculo I.

Para llevar a cabo estas aplicaciones, nos valimos del uso de dos herramientas elementales:

* Las integrales definidas y
* El TeoremaFundamental del Cálculo Integral

Al tener el conocimiento necesario sobre estos dos puntos se podrá llevar a cabo cualquiera de las aplicaciones aquí mencionadas, sumado claro, con las reglas individuales de cada caso en mención.

APLICACIONES DE
LA INTEGRAL

I Parte Área de una región entre dos curvas

Con pocas modificaciones podemos extender la aplicación de las integralesdefinidas para el cálculo de una región situada por debajo de una curva, al área comprendida de un región entre dos curvas. Si, como en la figura 1.1, las gráficas de ambas, f y g, se localizan por encima del eje x, podemos interpretar geométricamente el área de la región entre las gráficas como el área de la región situada debajo de la gráfica f menos el área de la región situada debajo de la gráfica deg, como muestra la figura 7.1.

Si bien en la figura 7.1 muestra las gráficas de f y g sobre el eje x, esto no es necesario y se puede usar el mismo integrando [f(x) – g(x)] siempre y cuando f y g sean continuas y g(x) f(x) en el intervalo [a, b]. Se resume el resultado en el teorema siguiente.

ÁREA DE UNA REGIÓN ENTRE DOS CURVAS

Si f y g son continuas en [a, b] y g(x) f(x) para todox en [a, b] entonces el área de la región limitada por las gráficas de f y g y las líneas verticales
x =a y x = b es
A = [f(x) – g(x)] dx

ÁREA DE UNA REGIÓN ENTRE DOS CURVAS

Si f y g son continuas en [a, b] y g(x) f(x) para todo x en [a, b] entonces el área de la región limitada por las gráficas de f y g y las líneas verticales
x =a y x = b es
A = [f(x) – g(x)] dxDemostración: Partimos en el intervalo [a, b] en subintervalos, cada uno de
anchura x y dibujamos un rectángulo representativo de anchura x y altura f(xi) - g(xi), de donde x está en el i-ésimo intervalo, tal como lo muestra la figura 1.3. El área de este rectángulo representativo es

Ai = (altura)(anchura) = [f(xi) - g(xi)] x

Sumando las áreas de los n rectángulo s y tomando el límitecuando
|||| 0 (n ), tenemos
n
lim [f(xi) - g(xi)] x
n i=1

Por ser f y g continuas en el intervalo [a, b], f-g también es continua en dicho intervalo y el límite existe. Por tanto, el área A de la región dada es
n
A = lim [f(xi) - g(xi)] x = [f(x) – g(x)] dxn i=1

Se usan los rectángulos representativos en diferentes aplicaciones de la integral. Un rectángulo vertical (de anchura x) implica integración respecto a x, mientras un rectángulo horizontal (de anchura y) implica integración con respecto a y.

Ejemplo 1.1
Hallar e área de la región limitada por las gráficas de y =x2 +2, y = -x, x =0 y x = 1.
Solución: Hacemos g(x) =-x y f(x)=x2+2, entonces g(x) f(x) para todo x en [0, 1], como muestra la figura. Por tanto, el área del rectángulo representativo es
A = [f(x) - g(x)] x
= [(x2+ 2) – (-x)] x
A = [f(x) – g(x)] dx
= [(x2 + 2) – (-x)]dx
= [x3/3 + x2/2 + 2x]10
= 1/3 + ½ + 2 =

Las gráficas de f(x) =x2+2 y g(x) = -x no se cortan, y los valores de a yb están dados explícitamente. Un tipo de problema más común involucra el área de una región limitada por dos gráficas que se interceptan, debiendo por tanto calcularse los valores de a y b.

Aplicación
El consumo total de gasolina para el transporte en los Estados Unidos desde 1960 hasta 1979 sigue un modelo de crecimiento descrito por la ecuación:

f(t) =0,000433t2 + 0,0962t + 2,76;...