CalculoCATema5bTeoria 09 10

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CALCULO
/ CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5

5.2

Integral Definida

Definici´
on de Integral Definida
El concepto de integral definida se construye a partir de la idea de pasar al l´ımite una
suma cuando el n´
umero de sumandos tiende a infinito y simult´aneamente cada uno de
los sumandos tiende a cero. Para determinar con precisi´on esta idea introduciremos las
siguientes definiciones:Definici´
on. Dado un intervalo [a, b] llamaremos partici´on de [a, b] a toda colecci´on
de n + 1 puntos P = {x0 , x1 , · · · , xn } tales que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b.
Toda partici´on P del intervalo [a, b] lo divide en n subintervalos [xk−1 , xk ] de anchuras
respectivas ∆xk = xk − xk−1 .
Definici´
on. Dada una funci´on f (x) definida en el intervalo [a, b], una partici´on P =
{x0 , x1 , · · · ,xn } de [a, b] y dados n puntos ξ = {ξ1 , ξ2 , · · · , ξn } tales que ξk ∈ [xk−1 , xk ],
se llama suma integral o suma de Riemann de la funci´on f (x) en [a, b] correspondiente
a la partici´on P y a la elecci´on de puntos ξ a la suma siguiente:
S(f, P, ξ) =

n
∑

f (ξk )∆xk = f (ξ1 )∆x1 + · · · + f (ξn )∆xn

k=1

Si suponemos que la funci´on es continua2 en [a, b] entonces, por el teorema deWeierstrass,
f (x) alcanza su valor m´aximo Mk y su m´ınimo mk en cada subintervalo [xk−1 , xk ],
podemos entonces construir las sumas de Riemann correspondientes a dichos valores,
obteniendo la suma superior de Riemann de f (x) en [a, b] con respecto a la partici´on P :
U (f, P ) =

n
∑

Mk ∆xk

k=1

y la respectiva suma inferior:
L(f, P ) =

n
∑

mk ∆xk

k=1

Es evidente entonces que el conjunto detodas las sumas de Riemann de una funci´on dada
en un intervalo, con respecto a una partici´on concreta P , est´a acotado superiormente
por U (f, P ) e inferiormente por L(f, P ).
Definici´
on. Se dice que una funci´on f (x) definida en [a, b] es integrable (en el sentido de
Riemann, o simplemente integrable) en [a, b] si el supremo de todas sus sumas inferiores
2

Realmente ser´ıa suficiente con quef (x) fuera continua en cada subintervalo de la partici´
on P .

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de Riemann coincide con el ´ınfimo de todas sus sumas superiores. A dicho n´
umero se le
denomina integral definida o integral de Riemann de f (x) en [a, b] y se denota como:
∫ b
f (x) dx
a

Es posible definir de manera equivalente la integral definida como el l´ımite de las sumas
deRiemann de la funci´on en el intervalo cuando el n´
umero de puntos de las particiones
consideradas tiende a infinito mientras que la anchura m´axima de los subintervalos determinados por la partici´on tiende a cero, siempre que dicho l´ımite sea adem´as independiente
de la elecci´on de puntos realizada para construir las sumas de Reiemann.
La definici´on de integral definida se completa a˜
nadiendo quese considerar´a tambi´en el
caso en el que a > b, y el caso a = b, de la forma:
∫ b
∫ a
∫ a
f (x)dx = −
f (x)dx ;
f (x)dx = 0
a

b

a

Propiedades b´
asicas
1. Si f (x) es integrable en [a, b] entonces est´a acotada en [a, b].
2. Si f (x) es continua en [a, b] entonces es integrable en [a, b].
3. Si f (x) est´a acotada en [a, b] y presenta en dicho intervalo un n´
umero finito de
discontinuidades,entonces es integrable en [a, b].
4. La integral definida es lineal, es decir: Si f (x) y g(x) son dos funciones integrables
en [a, b], entonces su suma tambien lo es y se verifica:
∫ b
∫ b
∫ b
(f (x) + g(x))dx =
f (x)dx +
g(x)dx
a

a

a

mientras que si k es un n´
umero real cualquiera, entonces:
∫ b
∫ b
f (x)dx
kf (x)dx = k
a

a

5. Dados tres n´
umeros reales a, b y c, se verifica:
∫ c
∫ b
∫ b
f(x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx
a

a

c

siempre que las integrales anteriores existan.
6. Si f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] y ambas son integrables en [a, b], entonces se verifica:
∫ b
∫ b
f (x) dx ≤
g(x) dx
a

a

7. Si a < b y f (x) es integrable en [a, b], se verifica:
∫ b
∫ b
|f (x)| dx
f (x)dx ≤
a

a

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CALCULO
/ CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5

5.2.1

Teorema Fundamental del C´
alculo y Regla de...