calculus

1. Halle la derivada

dy
de cada una de las siguientes funciones:
dx

x
x2
x3
−
+
x + 1 2x + 1 24
sen( x2 )
b) y = 2
x −1
a) y =

c) y =

1−x
1+x

f ) y = ln

g) yx + cos(x + 2y) = ( x 2 + y2 )2
h) y = 2sec x (sen x )2

tan( x 2 )

x

i) y2 − y = ( x 2 + y3 )2

d) y = x sen(cos(2x ))
ax 2 + b
e) y = 2
bx + a

j) y =

cos t
sen t + tan t

2.construir las gr´ ficas de las funciones y = x 3 − 3x + 4 y y = 3( x 2 − x ), as´ como las dos rectas que son
a
ı
tangentes a ambas gr´ ficas. Encuentre las ecuaciones de dichas rectas.
a
3. Evalue lossiguientes l´mites.
ı
√
1 − 2 sen(t + π )
4
a) l´m
ı
t
t →0
(5 − 3(1 + h)) − 2
b) l´m
ı
h
h →0

√
2 x−6
c) l´m
ı
x →9 x − 9
− x2 + 36
x−6
x →6

d) l´m
ı

4. Encontrar laecuacion de la par´ bola y = ax 2 + bx + c que pasa por el punto (0, 1) y es tangente a la recta
´
a
y = x − 1 en ese mismo punto.
´
5. Muestre que la recta y = − x es tangente a la curva dada por laecuacion y = x 3 − 6x 2 + 8x, encontrar el
punto de tangencia.
ı
e
6. Si f es diferenciable en a, con a > 0, evaluar el siguiente l´mite en t´ rminos de f ( a)
f ( x ) − f ( a)
√
l´m √
ı
x− ax→a

7. Bosqueje la gr´ fica de la funcion f ( x ), si la gr´ fica de la funcion f ( x ) es:
a
´
a
´
5

•

4
3
2

◦

1
0
-1

◦

-2
-3

•

-4
-5
-5

-4

-3

-2-1

0

1

2

3

4

5

8. la figura muestra la gr´ fica de una funcion h( x ). Trace la gr´ fica de la funcion h .
a
´
a
´

3

3

2

2

1

◦

1

−05

−4

−3

−2−1

1

3

2

4

5

-1

-2
-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

9. Encuentre los valores de a y b para los cuales f es diferenciable en toda parte
f (x) =

cos xax + b

si x < 0
si x ≥ 0

10. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la gr´ fica de la funcion f ( x ) =
a
´
punto (−1, 5)

x
x −1 ,

que pasa por el

1
, x > 0....