Campos electromagnéticos
47
Indicaciones y sugerencias
Tal como comentamos en la presentación del libro, no creemos que tenga utilidad real el explicar paso
a paso la resolución de los problemas. Probablemente ni siquiera sea conveniente, en general,
describir las etapas que deben seguirse para llegar al resultado final. Parece preferible estimular al
lector a que sea él quien hallela forma de hacerlo.
Se dan a continuación pistas y sugerencias que deben ser suficientes para resolver los problemas de la
primera parte. En algún caso, las explicaciones son bastante largas, y se incluyen esquemas y
fórmulas porque el problema lo merece. En otros, se dan apenas unas pocas indicaciones. De
cualquier manera será interesante que el estudiante deje de leer las pistas tan prontopiense que ha
captado el núcleo de la situación planteada. En atención a esta posibilidad, en muchas ocasiones las
indicaciones tienen un esquema piramidal o progresivo, yendo de lo más general a lo más concreto.
Las primeras frases son ciertas, pero vagas y, poco a poco, se concreta más en torno al problema
particular.
Rogamos al estudiante que, desde luego, haga un esfuerzo previo parasolucionar cada problema sin
mirar ni siquiera estas indicaciones. Un par de minutos de reflexión son suficientes para comprobar si
al menos se tiene alguna idea de cuál debe ser el enfoque correcto para la resolución de cada
problema.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
Indicaciones y sugerencias
49
Ecuaciones de Maxwell en condiciones estáticas
1.
a) No es preciso efectuarningún cálculo para encontrar el flujo a través de la semiesfera. Se
deduce inmediatamente de la ley de Gauss.
b) El flujo del campo eléctrico a través del plano puede resolverse analíticamente, para ello se
evalúa la integral de flujo a través del plano y = d . El integrando es
E ( r ) ⋅ ds =
q r
ˆ
⋅ dx dz y
4π ε 0 r 3
ˆ
donde el producto escalar que aparece,particularizado en los puntos del plano, es r ⋅ y = d . El
− 3 ) debe escribirse en coordenadas cartesianas, particularizándose también para
denominador ( r
los puntos del plano.
Para resolver la integral, la expresión en coordenadas cartesianas no es la mejor: resulta más
sencillo en la práctica utilizar las coordenadas polares del propio plano de integración, que
podemos denominar ρ ′ y ϕ ′ .Obsérvese entonces que las sustituciones que haríamos serían:
dx dz = ρ ′ dρ ′ dϕ ′ (= ds)
2
2
2
x + z = ρ ′
y los márgenes de integración serán ( −∞ ,+∞ ) para ρ ′ y ( 0, 2π ) para ϕ ′ . Dibuje un esquema
de la situación para comprobar que todo lo anterior es coherente.
Una vez resuelto el apartado b) de forma analítica, observe sin embargo que el resultado era
previsible sinnecesidad de cálculos, por simple inspección de la situación planteada y de acuerdo
con la ley de Gauss.
El caso más general que podemos considerar es el representado en la figura 27, donde hemos
trazado una superficie gaussiana S genérica que engloba parcialmente a un medio dieléctrico
polarizado.
∫ D ⋅ ds
2.
Nos piden que evaluemos la expresión
a través de esa superficiey que comprobemos
S
que el resultado es nulo.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
50
Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
superficie
gaussiana
S
medio
dieléctrico
P
Fig. 27 Una superficie gaussiana arbitraria que engloba
parcialmente a un dieléctrico polarizado
El primer paso del desarrollo sería:
)
E + P ⋅ ds =ε 0
∫ E ⋅ ds + ∫ P ⋅ ds
0
S
S
∫ D ⋅ ds =∫ (ε
S
S
La integral de flujo del campo eléctrico es igual a la carga total, sea libre o ligada, contenida en
el interior del volumen delimitado por S (dividida por ε 0 ), por lo que el problema es el cálculo
de la última integral.
+
∫
P ⋅ ds
TB
S
∫ D ⋅ ds = Q
S
donde QTB...
Regístrate para leer el documento completo.