CANONICAS

LA CIRCUNFERENCIA
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN (0,0)
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación de una circunferencia se simplifica a:

A está ecuación se le conoce como ecuación canónica y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(0,0), por lo que la expresión ordinaria queda reducida a:

Ejemplo: Determinar la ecuación de la circunferencia que pasapor el punto 6,3 y cuyo centro se encuentra en C(0,0)



Nota:
La circunferencia con centro en el origen y de radio igual a la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO (h,k)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) distinto del origen y radio r constade todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación.
(x-h)² + (y-k)² =r², donde (h,k) es el centro y r es el radio.
Para determinar la ecuación ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio.

Ej. Determinar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en C(3,-4) y que pasa por el punto A(6,12)

Ejemplo:
Escribir la ecuación de la circunferenciade centro (3, 4) y radio 2.
        


ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA.
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuación ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia, así:


Demostración:

Ejemplo:
Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(2;6) y radio r = 4
(x - 2)² + (y - 6)² =4²
X² - 2(2x) + 2² + y² - 2(6y) + 6² = 4²
X² - 4x + 4 + y² - 12y + 36 = 16
X² + y² - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
X² + y² - 4x - 12y + 24 = 0
Ejemplo:
Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(2;6) y radio r = 4
(x - 2)² + (y - 6)² = 4²
X² - 2(2x) + 2² + y² - 2(6y) + 6² = 4²
X² - 4x + 4 + y² - 12y + 36 = 16
X² + y² - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
X² + y² - 4x - 12y + 24 = 0

LAPARÁBOLA

Ecuaciones de la parábola

Parábola con vertice en (0,0)
Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro espositivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».
Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio.
Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (P,0). La directriz es por tanto, larecta vertical que pasa por (-P,0). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene:
La ecuación de una parábola con vértice en (0,0). A continuación se muestran las fórmulas que se utilizan para el cálculo de ecuaciones, coordenadas del foco y la directriz. 
 Tipo
Ecuación
FocoDirectriz
Vertical
X2=4PY
F(0,P)
D=Y= -P
Horizontal
Y2=4PX
F(P,0)
D=X= -P
 NOTA: recuerda que siempre la parábola va a abrir hacia donde está el foco por lo que si el foco tiene coordenadas negativas puede abrir hacia abajo o hacia la izquierda, sin embargo si el foco es positivo puede abrir hacia arriba o hacia la derecha.
 
Sabemos que la geometría analítica estudia las formas o figurasgeométricas basadas en ecuaciones y coordenadas definidas sobre un Plano Cartesiano.
Pues bien, una parábola es una forma geométrica.
Esta forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación, cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, y son:
Vértice (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje de simetría).
Eje focal (o de...