Cap

Instituto de Matemática
Universidad Austral de Chile

Cálculo en Varias Variables

Capítulo 3: Integral de Riemann
3.1 Integrales sobre un rectángulo
3.2 Integrales sobre conjuntos acotados
3.3 Integrales Iteradas. Teorema de Fubini
3.4 Teorema del Cambio de Variable
3.5 Aplicaciones de las Integrales Dobles y Triples

1

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3.1 Integrales sobreun rectángulo


R   a1 , b1    a2 , b2 es un rectángulo en el plano
P   P1 , P2 es una partición de R
si P1  a1  x0 , x1 ,..., xr  b1es partición de a1 , b1 
y P2  a2  y0 , y1 ,..., ys  b2 es partición de a2 , b2 
Así P divide a R en n  r  s subrectángulos Ri .
La norma de la partición P , es P  máx areaRi  ,1  i  n

2

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3.1 Integrales sobre un rectángulo
Sea f : R  2 
, R rectángulo y f función acotada.
Una suma de Riemann de f , para una partición P de R es:



n

S ( f , P )   f ( xi , yi )  Área(Ri )
i 1

donde ( xi , yi )  Ri
(Cada elección de los puntos ( xi , yi )  Ri define una suma de Riemann diferente)
Si lim S ( f , P ) existe (es un número real) independiente de la elección de los

P 0

n 

( xi , yi )  Ri entonces este límite es la integral (de Riemann) de f en R .
Se anota I 
 f
R



Cualquier suma de Riemann es una aproximación del valor de I 



R

f

3

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3.1 Integrales sobre un rectángulo


Análogamente se define la integral de Riemann para una
función f : R  3  , acotada donde
R   a1 , b1    a2 ,b2    a3 , b3 es un paralelepípedo (se denomina
rectángulo en

3

).

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3.1 Integrales sobre un rectángulo
Notaciones:
2
-En
: La integral se anota:



R

-En

3

f ( x, y )dxdy (ó



R

f ( x, y ) dA)

y se llama INTEGRAL DOBLE.
: La integral se anota:
f ( x, y, z )dxdydz (ó



R



R

f ( x, y, z )dV )

y se llama INTEGRALTRIPLE.
Ejemplos:
1.3dxdy  24, donde R  1,3  3, 7  .Si P   P1 , P2 es partición de R ,



R

que lo divide en n subrectángulos, entonces tenemos:
n

S ( f , P )   f ( xi , yi )  Área ( Ri )
i 1
n

  3  Área ( Ri ) , (Pues f ( x, y )  3es constante)
i 1
n

 3 Área ( Ri )  3  Área ( R )  3  2  4  24
i 1

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3.1Integrales sobre un rectángulo
2.-



R

(2 x  3 y ) dxdy 

5 , donde
R   0,1   0,1 .
2
Sea P   P1 , P2 
partición de R que
lo divide en n 2 subrectángulos.
( n divisiones en eje x
y n divisiones en eje y ).
Elegiremos en cada subréctangulo
el vértice superior derecho.

 i j
f

 ,   Área ( Rij )
n n
i , j 1
n
j 1 
 2i 3 j  i i  1  j
 






n
n
n
n
n
n



i ,j 1 

S ( f , P) 

n

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3.1 Integrales sobre un rectángulo
2i  3 j 1
 2

n
n
i , j 1
n

1  n
 3  2  i  3 j 
n  i , j 1
i , j 1 
1  n( n  1)
n( n  1) 
 3 2
n3
n
n 
2
2




n

5n 3  5n 2

2n3
5
5
S ( f , P)  
2 2n
Así:

5  5
5
lim S ( f , P )  lim  

n 
n 
 2 2n  2
5
  (2 x  3 y ) dxdy 
R
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3.1 Integrales sobre un rectángulo
3.- Sea f :  0,1   0,1 

1, x 
f ( x, y )  
0, x 
Sea P cualquier partición de R   0,1   0,1.En cada subrectangulo existen puntos
tales que la 1era coordenada es racional y puntos tales que la 1era coordenada es irracional.
-Si se elige en cada subrectangulo un punto en que la 1eracoordenada es racional resulta.
n

n

i 1

i 1

S ( f , P )   f ( xi , yi ) Área ( Ri )  Área ( Ri ) Área ( R )  1
-Si se elige en cada subrectangulo un punto en que la 1era coordenada es irracional resulta.
n

n

i 1

i 1

S ( f , P )   f ( xi , yi ) Área ( Ri )  0  Área ( Ri ) 0
Así lim S ( f , P ) no existe
n 

  f ( x, y )dxdy . No Existe.
R

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