Cap3

CAPÍTULO 3

Valores propios y vectores propios� Diagonalización
Este capítulo consta de cuatro secciones. Con el fin de dar una idea de lo que se hará en las dos primeras
secciones, se considerará un espacio vectorial U y una transformación lineal T : U → U. Ahora; si existe
una base ordenada � = {u1 � u2 � . . . � un } de U tal que [T ]�� es una matriz diagonal, es decir,
3
2
λ1 0 · · · 06 0 λ2 · · · 0 7
7
6
[T ]�� = D = 6 .
.
. 7�
..
.
. 5
4 .
.
.
.
.
0
0 · · · λn

entonces

T �ui ) = λi ui ;

i = 1� 2� . . . � n �

esto es, T �ui ) es un múltiplo escalar de ui . Este hecho da información inmediata acerca de la transformación
lineal T . Por ejemplo, la imagen de T es el espacio generado por los vectores ui para los cuales λi �= 0�
y el núcleo de T es elespacio generado por los restantes vectores ui . En la sección 3.2 se responderán las
preguntas: ¿Para qué transformaciones lineales T existe una tal base �? y si existe, ¿Cómo encontrarla?.
Las respuestas a estas preguntas están directamente ligadas a los conceptos de valor propio y vector propio,
los cuales serán abordados en la sección 3.1. Se verá en esta sección, de que el cálculo de losvalores propios y
los vectores propios de una transformación lineal T se reduce al cálculo de los valores propios y los vectores
propios de una cierta matriz A. Por otro lado, en las secciones 3.3 y 3.4 se consideraran los conceptos de valor
propio, vector propio y diagonalización de matrices simétricas, los cuales son particularmente importantes
en la teoría y en aplicaciones del álgebralineal.

3.1.

Valores propios y vectores propios

Un problema que se presenta con frecuencia en el álgebra lineal y sus aplicaciones es el siguiente: Dado un
espacio vectorial U y dada una transformación lineal T : U → U , encontrar valores de un escalar λ para
los cuales existan vectores u �= 0 tales que T �u) = λu. Tal problema se denomina un problema de valores
propios (la figura 3.1ilustra las posibles situaciones). En esta sección se verá cómo resolver dicho problema.
3.1. Definición. Sean U un espacio vectorial y T : U → U una transformación lineal. Se dice que el escalar
λ es un valor propio de T , si existe un vector u �= 0 de U tal que T �u) = λu. A dicho vector no nulo u se
le llama un vector propio de T correspondiente al valor propio λ, o se dice que es λ-vector de T .Nota. Los valores propios se denominan también eigenvalores o valores característicos y los vectores propios
se denominan también eigenvectores.

3�

3.1. Valores propios y vectores propios
T(u)=    u
λ

Diagonalización de matrices
u

u

u

T(u)=    u
λ

u

T(u)=    u
λ
λ>1

0 r� entonces se debe tener que |C − λ∗ I| = 0� y por lo tanto existe un vector �n − r) × 1� w �=0 tal que
Cw = λ∗ w.
50

Diagonalización de matrices

3.3. Matrices simétricas

Considere ahora el vector no nulo u ∈ �n×1 dado por u = P

u=P

»

�
w

–

=

=

»

�
w

–

. Es decir,
2

6
6
6
6
6
6
6
[x1 x2 · · · xr y1 y2 · · · yn−r ] 6
6
6
6
6
6
4

0
0
.
.
.
0
w1
w2
.
.
.
wn−r

w1 y1 + w2 y2 + · · · wn−r yn−r .

3
7
7
7
7
7
77
7
7
7
7
7
7
5

/
Esto es, el vector u ∈ �y1 � y2 � . . . � yn−r � y u ∈ �x1 � x2 � . . . � xr �

De otro lado, el vector u, es un λ∗ -vector propio de A. En efecto,
»
–
» ∗
–
» ∗
�
λ I
�
λ I
=P
PTP
Au = P
w
�
C
�
–
»
–
»
�
�
= P
=P
Cw
λ∗ w
»
–
�
= λ∗ u .
= λ∗ P
w

�
C

–»

�
w

–

Esto indica, que B = {x1 � x2 � . . . � xr � ur+1 } es unconjunto de r + 1 vectores propios linealmente independientes correspondientes al valor propio λ∗ , lo cual contradice el hecho de que la multiplicidad geométrica
�
de λ∗ sea r.
3.38. Teorema. Si A es una matriz simétrica de orden n� entonces A tiene n vectores propios ortogonales,
y por tanto, linealmente independientes.

Demostración� Sean λ1 � λ2 � . . . � λk los diferentes valores...