CAP7 MATRICES Y DETERMINANTES

Tema 1

1 Matrices

MATRICES Y DETERMINANTES
1.1 DEFINICIÓN Y DESCRIPCIÓN DE MATRICES

Una matriz es una ordenación rectangular de elementos dispuestos en filas y
columnas encerrados entre paréntesis, por ejemplo
 2 −1 0 1 


1 0
A =  −3 2
 0 4 −2 −2 



Las matrices se nombran con letras mayúsculas A, B, C, .... y sus elementos
con minúsculas con dos subíndices aij, que indicanrespectivamente la fila y la
columna en la que se sitúa el elemento
Columnas
⇓

.c

om

...m-ésima
... a1m 

... a 2m 
... ... 

... a nm 

at
ic
a1

1ª 2ª
 a11 a12

a
a 22
A = {a ij} =  21
 ... ...
 a
 n1 a n 2

1ª
2ª
...

⇐ filas

n − ésima

ww

w.

M

at

em

Una matriz de n filas y m columnas se dice que es una matriz de orden n × m
y se representa por An × m siendo n el nº de filas y mel nº de columnas. Definimos
dimensión de una matriz como el número n × m de elementos que tiene; bien claro
que, no será igual una matriz n × m que una matriz m × n, aunque tengan igual
dimensión:
 1 −3 
 1 −4 2 


A2 × 3 = 
A3 × 2 =  −4
0 

 −3 0 5 
 2
5 

Orden 2 × 3, dimensión 6
Orden 3 × 2, dimensión 6
Atendiendo al orden de una matriz, podemos definir:
i) Matriz cuadrada,matriz que verifica n = m, en este caso se escribe An o An × n
y se dice que es una matriz de orden n.

 1 3
A2 = 

 2 4

Fundamentos Matemáticos I

1 4 7


A3 =  2 5 8 
 3 6 9



C. Hoyal

Tema 1

2 Matrices

ii) Matriz rectangular, matriz en la que n ≠ m
 1 −4
A 2×3 = 
 −3 0

0 

0 

A 4×3

1

0
=
3

1

5
7
8
3

2

4
0

2 

Casos notables:
ii-a ) Matriz fila:es una matriz de orden (1 × m):
( a11 a12 .......a1m )
..ii-b ) Matriz columna: es una matriz de orden (n × 1):
 a11 
 
 a 21 
 ... 
 
 a n1 
Atendiendo a sus elementos:
iii)

at
ic

a1

.c

om

iii_a) Matriz real, sus elementos son números reales aij ∈ »

at
e

m

iii_b) Matriz compleja, sus elementos son números complejos aij ∈ »
iii_c) Matriz nula, sus elementos son todos nulos
www.

M

0
 0 0 0

 0 0
 0 0 0


0
O =
 , O =  0 0 0 , O = 
, O =
0
 0 0
 0 0 0
 0 0 0



0

0
0
0
0

0

0
0

0 

1. 2 OPERACIONES CON MATRICES

Sea Mn × m el conjunto de las matrices de orden n × m con elementos reales
1.2-1 Igualdad de matrices
Decimos que dos matrices del mismo orden A = {aij}, B = {bij} son iguales si
aij = bij
∀ i,j ∈ »
Es decir, tienentodos los elementos iguales y en el mismo orden.
1.2-2 Suma y diferencia de matrices
Dadas las matrices A = {aij}, B = {bij} se define A ± B como la matriz C = {cij} tal
que
cij = aij ± bij
Para realizar estas operaciones, las matrices deben ser del mismo orden y el
resultado es una matriz de ese mismo orden.

Fundamentos Matemáticos I

C. Hoyal

Tema 1

3 Matrices

Ejemplo 1-1
 3

A =  −1
 4

4

A + B =  −2
 6


2

0
1 
2

−1 
0 

Propiedades de la suma:
i) Asociativa:
∀ A, B, C ∈ Mn × m :
ii) Conmutativa
∀ A, B ∈ Mn × m :

 1 0


B =  −1 −1 
 2 −1 


2 2


A−B= 0 1
2 2



A + (B + C) = (A + B) + C

A+B=B+A

iii) Elemento neutro:
∀ A ∈ Mn × m , ∃ O ∈ Mn × m / A + O = O + A = A

at
ic

a1

.c

om

iv)Elemento opuesto:
∀ A ∈ Mn × m ∃ -A ∈ Mn × m / A +(-A) = O
A la matriz –A se denomina matriz opuesta de A y resulta de considerar la

ww

w.

M
at

em

matriz cuyos elementos son los opuestos de los elementos de A.
1.2-3 Producto de un escalar por una matriz
Dado un escalar α y una matriz A ∈ Mn × m, se define el producto α ·A = A· α
como otra matriz del mismo orden, que resulta de multiplicar α por cada elemento

de A:

 a11 a12

a 21 a 22
α ·A =α · 
 ... ...

 a n1 a n 2

... a1m 

... a 2m 
=
... ... 

... a nm 

 α·a11 α·a12

 α·a 21 α·a 22
 ...
...

 α·a n1 α·a n 2

... α·a1m 

... α·a 2m 
= A· α
...
... 

... α·a nm 

Ejemplo 1-2
 1 −1 0   5 ⋅1 5 ⋅ (−1) 5 ⋅ 0   5 −5 0 
5 ⋅
= 
=

5 ⋅1 5 ⋅ 3  10 5 15 
 2 1 3  5⋅ 2

Propiedades del producto de un escalar por una matriz:
i) Asociativa...