capitulo9

Capitulo 9. Definición de condiciones de Viga en Cantilever

La viga en cantilever esta sujeta a condiciones de frontera tomando en consideración un
extremo fijo y por consiguiente su lado opuesto libre tal y como lo indica la siguiente
figura:

L
Fig. 12 Diagrama de Viga en Cantilever

El lado fijo de este modelo no tiene desplazamiento y su ángulo de deflexión por tanto
es cero, mientras que elextremo opuesto presenta una condición contraria, excepto que
cuando nos ubicamos en el punto más alejado de la viga ósea cuando x = L no hay
presencia de momentos flexionantes ni esfuerzos cortantes.

Estas situaciones son conocidas como condiciones de frontera y pueden ser
representadas de la siguiente forma:

Extremo fijo (x=0) :

Extremo Libre (x=L):

X (0) = 0;

∂2 X
∂x 2

∂X
∂x

x=L

x =0(9.1)

=0

∂3 X
= 0; 3
∂x

x=L

=0

(9.2)

Aplicando estas condiciones de frontera, nos permite reducir la ecuación a la siguiente
forma:

cos κ i L + cosh κ i L + 1 = 0

⎧ 1⎫
En donde los valores para la ecuación ϕ i = κ i L = ⎨i − ⎬π
⎩ 2⎭

(9.3)

(9.4)

Y la función que describe el modo de forma, para el enésimo modo es:

X i = cos κ i x − cosh κ i x −

cos ϕ + cosh ϕ
(sin κ i x − sinh κ i x )sin ϕ + sinh ϕ

(9.5)

A continuación mostraremos los primeros cuatro modos de la viga:

Fig. 13 Diagrama de Modos de Vibración

La grafica anterior se obtuvo utilizando la ecuación 9.2 y los valores de la amplitud de
frecuencia obteniendo como resultado valores de frecuencias de resonancia que oscilan
entre los 12 y 400 kHz.

9.1 Parámetros de Viga doblemente empotrada

La figura que representaesta condición es la siguiente:

L
Fig. 13 Viga doblemente empotrada

Las condiciones de frontera para la geometría descrita bajo estas condiciones son:

X (0) = 0;

∂X
∂x

X ( L ) = 0;

∂X
∂x

x =0

x=L

=0

(9.6)

=0

(9.7)

Aplicando estas condiciones de frontera en la ecuación anterior de la misma forma en
que lo hicimos, tenemos que:

cos κ i L + cosh κ i L − 1 = 0
⎧
Y en donde los valores ϕi = κ i L = ⎨i +
⎩

(9.8)

1⎫
⎬π para el enésimo modo.
2⎭

Teniendo de la misma forma la solución general aplicando las condiciones de frontera
para la viga doblemente empotrada y referida en la siguiente ecuación:

X i = cos κ i x − cosh κ i x −

cos ϕ − cosh ϕ
(sin κ i x − sinh κ i x )
sin ϕ − sinh ϕ

(9.9)

9.2 Modelo Discreto
Las características de vibración de una viga en cantilever, puedenser
simplificadas de un sistema continuo a un modelo discreto en donde una sola dirección
de desplazamiento y un grado de libertad son considerados.
En un modelo discreto, el movimiento verídico de la viga es modelado como una
oscilación harmónica simple en donde la masa distribuida y la rigidez son reemplazadas
con un sistema masa- resorte amortiguado. La constante de rigidez del resorte kcutilizado en el modelo de oscilación harmónica es definido como:

kc =

Ewt 3
4L3

(9.10)

Y la rigidez kb para la viga doblemente empotrada es:
kb =

16 Ewt 3
L3

(9.11)

A continuación mostraremos el modelo discreto del cual estamos hablando

Fig. 15 Modelo Discreto.

La masa amortiguada usada para representa la masa distribuida de la viga en cantilever
puede ser derivada usando las constantes deresorte y la frecuencia ωo de la oscilación
harmónica:

ωo =

k
,
m

(9.12)

4

ωo =

4

k EI
=
ρA

m c ≈ .243 ρAL

⎛ φ1 ⎞ ⎛ ωt 3 ⎞
⎟⎟
⎜ ⎟ E ⎜⎜
⎝ L ⎠ ⎝ 12 ⎠
=
ρA

φ1 4

⎛ ωt 3
E ⎜⎜
L ⎝ 12
ρA

⎞
⎟⎟
⎠ =

φ1 4 ⎛ Eω 3 ⎞
⎜
⎟≈
3 LρA ⎜⎝ 4 L3 ⎟⎠

kc
mc

(9.13)

La aproximación de la masa amortiguada para la viga doblemente empotrada se puede
encontrar utilizando el mismo método por lo que tenemos:
mb ≈2.61ρAL

(9.14)

9.3 Oscilaciones Harmónicas Forzadas bajo un Amortiguamiento Viscoso

La ecuación de movimiento de una viga con vibración forzada con oscilamiento
harmónico, para un sistema de masa resorte bajo un amortiguamiento viscoso, puede ser
expresada como:

m

∂2z
∂z
+γ
+ kz = F
2
∂t
∂t

(9.15)

En donde el segundo término de la ecuación es la fuerza de amortiguamiento y F es la
fuerza que...