certamen series de tiempo

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
´
FACULTAD DE MATEMATICAS / DEPARTAMENTO DE ESTAD´
ISTICA

523575

SERIES DE TIEMPO
Certamen 1

Profesor: Guillermo Ferreira .
Alumno:
Fecha: 20 de Diciembre 2011

1. [10 %] Defina en no m´s de cinco lineas los siguientes conceptos:
a
Soluci´n
o
a) (1 %) Invertibilidad
Si un proceso puede re-escribirse como una combinaci´n lineal de su pasado inofinito de la forma
∞

εt =

φj Xt−j ,
j=0

donde φj cumplen con

∞
j=0

|φj | < ∞.

b) (1 %) Causalidad
Si un proceso puede representarse como un proceso lineal general de la forma
∞

Xt =

ψj εt−j ,
j=0

donde ψj cumplen con

∞
j=0

|ψj | < ∞.

c) (1 %) Estacionalidad
Corresponde a un patr´n que se repite cada cierto n´mero de observaciones meo
u
didas secuencialmenteen el tiempo.
d) (1 %) Procesos Fuertemente estacionarios
Corresponde a un proceso Xt donde la distribuci´n del vector (Xt+1 , Xt+2 , . . . , Xt+s )
o
se mantiene para todo t y s.
e) (1 %) Procesos d´bilmente estacionarios
e
Corresponde a procesos Xt que cumplen con:
E(Xt ) = µ
V ar(Xt ) = σ 2 < ∞
Cov(Xt , Xt+k ) = γX (k)
523425 - Series de Tiempo

12 de Diciembre 2011

f) (2 %)ACF y PACF
ACF: La funci´n de autocorrelaci´n se define como ρ(k) =
o
o

γX (k)
.
γX (0)

PACF: Corresponde a la correlaci´n entre los errores de predicci´n a un paso
o
o
del futuro y del pasado dadas las observaciones intermedias, es decir, Corr(Y1 −
Y1 , Yn − Yn ).
g) (2 %) Procesos Regular y Singular
Un Proceso Regular corresponde a un proceso completamente aleatorio.
Un procesoSingular corresponde a un proceso deterministico.
h) (1 %) Expanci´n de Wold.
o
Corresponde a un proceso lineal general causal y por ende estacionario.
2. [10 %] Considere un proceso estacionario MA(1): Yt = θεt−1 + εt , donde |θ| < 1 y
εt ∼ RB(0, σ 2 ). Si tomamos la primera diferencia para una serie proveniente de este
proceso, ¿C´mo ser´ la varianza de esta nueva serie? Comp´rela con lavarianza de la
o
ıa
a
serie original.
Sea Zt la primera diferencia del proceso Yt , es decir,
Zt = (1 − B)Yt = εt + θεt−1 − εt−1 − θεt−2 .[2 %]
La varianza de Zt esta dada por
V ar(Zt ) = Cov(Zt , Zt )
= Cov(εt + θεt−1 − εt−1 − θεt−2 , εt + θεt−1 − εt−1 − θεt−2 )
= σ 2 (1 + (θ − 1)2 + θ2 ).[4 %]
Mientras que la varianza de Yt esta dada por
V ar(Yt ) = σ 2 (1 + θ2 )[2 %]
para θ = 1 setiene que V ar(Zt ) = V ar(Yt ) , mientras que para θ < 1 y distinto de
cero, se tiene que (θ − 1)2 > 0. Es decirV ar(Zt ) > V ar(Yt ). [2 %]
3. [30 %] Considere el proceso lineal {yt } con descomposici´n de Wold
o
∞

y t = εt +
j=1

εt−j
j

2
donde εt ∼ RB(0, σε ).

Soluci´n
o
a) Verifique que este proceso es causal (encuentre los coeficientes ψj ). Calcule E (yt ) , V ar (yt )
yCov (yt , yt+k ). ¿Es {yt } estacionario de segundo order?.
523425 - Series de Tiempo

12 de Diciembre 2011

El proceso es causal pues podemos escribir yt como un proceso lineal dado por
∞

yt =

ψj εt−j ,
j=0
∞
j=0

con ψ0 = 1 y ψj = 1 . Adem´s se satisface que
a
j
Calculo de las propiedades estadisticas de {yt }.
∞

εt−j
) = 0[2 %]
j

E(yt ) = E(εt +
j=1

∞

εt−j
2) = σε (1 +
j

V ar(yt ) = V ar(εt +
j=1
∞

1
εt−j , εt+k +
j

Cov(yt , yt+k ) = Cov εt +
j=1

∞

= Cov(εt , εt+k ) + Cov εt ,
i=1
∞

1
εt−j , εt+k
j

+ Cov
j=1

∞

2
σε
+ Cov
k

=

2
σε

=

k

2
ψj < ∞. [5 %]

j=1

∞
2
+ σε
j=1

1
εt−j ,
j

∞

j=0
∞

i=1

1
)[3 %]
j2

1
εt−i+k
i

1
εt−i+k
i
∞

+ Cov
j=1
∞

i=1

1εt−j ,
j

∞

i=1

1
εt−i+k
i

1
εt−i+k
i

1
, ∀ k > 1[10 %]
j(k + j)

b) Calcule la funci´n de autocovarianza del proceso.
o
Por item anterior se tiene
σ2
2
Cov(yt , yt+k ) = ε + σε
k
Hint:

∞
1
j=1 j(j+h)

=

1
h

∞

j=1

σ2 σ2
1
= ε + ε
j(k + j)
k
k

k

j=1

1
[10 %]
j

h
1
j=1 j

4. [20 %] Sea {Xt } el proceso MA(1) no invertible,...