Chebyshev

E cu a ci o n e s D i f e r e n ci a l e s d e O r d en Su p er i o r
Pa r t e I V

P o l i n o m i o s d e C h eb y s h ev
Ing. Ramón Abascal
Profesor Titular de Análisis de Señales y Sistemas y Teoría de los Circuitos II en la UTN, Facultad Regional Avellaneda Buenos Aires, Argentina 2006

Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior. Parte 4 – Polinomios de Chebyshev.

4.3Polinomios de Chebyshev.
4.1 - Polinomios de Chebyshev. Los Polinomios de Chebyshev están estrechamente ligados a la teoría de la aproximación de funciones, por lo que parecerían estar fuera de lugar en este trabajo dedicado a las Ecuaciones Diferenciales. No obstante introducimos aquí su tratamiento tanto por sus notables similitudes con los Polinomios de Legendre, como porque una de las principalesaplicaciones de ambos la constituye el desarrollo de los filtros eléctricos, o filtros de ondas, de gran importancia en las ramas de la ingeniería eléctrica y electrónica. Esta aplicación la comparten también con las funciones de Bessel, que veremos en el próximo capítulo. La función Cn ( x ) = cos ( n arcos x ) (4.1) en la cual n es cualquier número natural, se conoce como Polinomio de Chebyshev deorden n. Aunque a primera vista no parezca evidente, la función mencionada es en efecto un polinomio en x, finito para todo x ≠ ∞ , como probaremos a continuación. En primer lugar, si n = 0, es obviamente: C0 ( x ) = cos ( 0 arcos x ) = cos 0 = 1 A su vez, para n = 1, C1 ( x ) = cos ( arcos x ) = x Ahora bien, para calcular los polinomios sucesivos, se puede apelar a la fórmula de recurrrencia quedemostraremos a continuación: El Polinomio de orden n es, por definición (4.1): Cn ( x ) = cos ( n arcos x ) Y si llamamos, para simplificar, u = arcos x reemplazando, obtenemos: Cn ( x ) = cos n u A su vez, la función inversa de u es: x = cos u De acuerdo con la definición dada más arriba, el Polinomio de orden n + 1, será: Cn+1 ( x ) = cos [ ( n + 1 ) u ] = cos ( n u + u ) y el de orden n -1:Cn-1 ( x ) = cos [ ( n - 1 ) u ] = cos ( n u - u )
R. Abascal - Análisis de Señales y Sistemas

(4.2)

(4.3)

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4.4

Al aplicar las conocidas fórmulas del coseno de la suma y del coseno de la diferencia, las dos últimas igualdades quedan modificadas como sigue: Cn+1 ( x ) = cos u cos nu - sen u sen nu y Cn-1 (x ) = cos u cos nu + sen u sen nu Cn+1 ( x ) = 2 cos u cos nu - Cn-1 ( x ) y reemplazando según (4.2) y (4.3): Cn+1 ( x ) = 2 x Cn ( x ) - Cn-1 ( x ) (4.4) Al sumar miembro a miembro estas dos igualdades, y despejar luego, se obtiene:

A partir de este resultado, es posible determinar, por reiteración, el polinomio que representa a cada una de las funciones de Chebyshev. A continuación, atítulo de ejemplo, desarrollamos las primeras de ellas: Ya vimos que C0 ( x ) = 1 y C1 ( x ) = x C2 ( x ) = 2 x C1 ( x ) - C0 ( x ) = 2 x2 - 1 C3 ( x ) = 2 x C2 ( x ) - C1 ( x ) = 4 x 3 - 2 x - x = 4 x3 - 3 x C4 ( x ) = 2 x C3 ( x ) - C2 ( x ) = 8 x 4 - 6 x2 - 2 x2 + 1 = 8 x 4 - 8 x2 + 1 C5 ( x ) = 2 x C4 ( x ) - C3 ( x ) = 16 x 5 - 16 x3 + 2 x - 4 x3 + 3 x = = 16 x5 - 20 x3 + 5 x C6 ( x ) = 2 x C5 ( x) - C4 ( x ) = 32 x 6 - 40 x4 + 10 x2 - 8 x 4 + 8 x2 - 1 = = 32 x6 - 48 x4 + 18 x2 - 1 C7 ( x ) = 2 x C6 ( x ) - C5 ( x ) = 64 x 7 - 96 x5 + 36 x3 - 2 x − − 16 x5 + 20 x3 - 5 x = 64 x 7 - 112 x5 + 56 x3 - 7 x etc. Si aplicamos la fórmula (4.4), obtendremos, sucesivamente:

4.2 - Existencia de la Función de Chebyshev para valores de | x | > 1. El rango de existencia de las Funciones de Chebyshevdefinidas según la (4.1) es - 1 ≤ x ≤ 1, puesto que la función arcos x no existe para cualquier valor de x de módulo mayor que 1:

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4.5

| x | > 1, Sin embargo, una simple inspección de los polinomios Cn ( x ) muestra que los mismos tienen sentido para cualquier valor no infinito de x . Cabe entonces hacerse...