Chebyshev
Páginas: 2 (369 palabras)
Publicado: 3 de noviembre de 2013
Diego Alejandro Castiblanco Hernández – 20091020112
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ingeniería
Ingeniería de Sistemas
Estadística
Si una variable aleatoria tieneuna varianza o desviación estándar pequeña, se esperaría que la mayor parte de los valores se agruparan alrededor de la media. Por tanto, la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valordentro de cierto intervalo alrededor de la media es mayor que para una variable aleatoria similar con una desviación estándar mayor. Si se piensa en la probabilidad en términos de un área, se esperaríauna distribución continua con una desviación estándar pequeña que tenga la mayor parte de su área cercana a µ, como en la figura (a). Sin embargo, un valor grande de indica una variabilidad mayor y,por tanto, se esperaría que el área estuviera más extendida como en la figura (b).
El matemático ruso P.L. Chebyshev descubrió que la fracción del área entre dos valoressimétricos cualesquiera alrededor de la media esta relacionada con la desviación estándar. Como el área bajo una curva de distribución de probabilidad o en un histograma de probabilidad suma 1, el área entrecualesquiera dos números es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor entre estos números.
El siguiente teorema, debido a Chebyshev, da una estimación conservadora de la probabilidadde que una variable tome un valor dentro de k desviaciones estándar de su media para cualquier número real k.
Teorema: La probabilidad de que cualquier variable aleatoria X tome un valor entre dentrode k desviaciones estándar de la media es al menos . Es decir,
Demostración curva de Chevyshev: Dada la definición de varianza de X se puede escribir:
Debido a que la segunda de las tresintegrales es no negativa. Ahora bien como , tenemos que en ambas integrales restantes se sigue que :
Y que
De aquí
Con lo que queda el teorema establecido.
Para k=2 el teorema...
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ingeniería
Ingeniería de Sistemas
Estadística
Si una variable aleatoria tieneuna varianza o desviación estándar pequeña, se esperaría que la mayor parte de los valores se agruparan alrededor de la media. Por tanto, la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valordentro de cierto intervalo alrededor de la media es mayor que para una variable aleatoria similar con una desviación estándar mayor. Si se piensa en la probabilidad en términos de un área, se esperaríauna distribución continua con una desviación estándar pequeña que tenga la mayor parte de su área cercana a µ, como en la figura (a). Sin embargo, un valor grande de indica una variabilidad mayor y,por tanto, se esperaría que el área estuviera más extendida como en la figura (b).
El matemático ruso P.L. Chebyshev descubrió que la fracción del área entre dos valoressimétricos cualesquiera alrededor de la media esta relacionada con la desviación estándar. Como el área bajo una curva de distribución de probabilidad o en un histograma de probabilidad suma 1, el área entrecualesquiera dos números es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor entre estos números.
El siguiente teorema, debido a Chebyshev, da una estimación conservadora de la probabilidadde que una variable tome un valor dentro de k desviaciones estándar de su media para cualquier número real k.
Teorema: La probabilidad de que cualquier variable aleatoria X tome un valor entre dentrode k desviaciones estándar de la media es al menos . Es decir,
Demostración curva de Chevyshev: Dada la definición de varianza de X se puede escribir:
Debido a que la segunda de las tresintegrales es no negativa. Ahora bien como , tenemos que en ambas integrales restantes se sigue que :
Y que
De aquí
Con lo que queda el teorema establecido.
Para k=2 el teorema...
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