ciencia mate

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CLAVE DE EXAMEN

CURSO:

MATEMÁTICA BÁSICA 1

SEMESTRE:

SEGUNDO SEMESTRE 2010

CÓDIGO DEL CURSO:

101

TIPO DE EXAMEN:

2DA RETRASADA

FECHA DE EXAMEN:

ENERO 2011

NOMBRE DE LA PERSONA QUE RESOLVIÓ EL
EXAMEN

PABLO RODOLFO ROESCH

NOMBRE DE LA PERSONA QUE DIGITALIZÓ EL
EXAMENPABLO RODOLFO ROESCH

Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería

Departamento de Matemática
Matemática básica 1

Examen de segunda retrasada
Tema 1: (30 puntos)
(a)

Resuelva la ecuación:

13sen   12  6 cos2  , para 0    360º
(b)

Resuelva la ecuación:

t2  5t  7  t2  5t  5  0
(c)

Resuelva la desigualdad:

1 
1
2
x 2
x 4

Tema2: (20 puntos)
En una competencia contra-reloj los competidores salen del mismo punto. Si el primero sale a una
velocidad constante de 6 millas/hora y 5 minutos más tarde sale el segundo corredor a una
velocidad constante de 8 millas/hora. ¿En cuánto tiempo el segundo corredor alcanzará al
primero? ¿Qué distancia habrán recorrido?

Tema 3: (15 puntos)
Encuentre la ecuación de la hipérbolacon vértices en   2,0  y cuyas asíntotas son y   2x
Encuentre las coordenadas de los focos y dibuje la gráfica.

Tema 4: (20 puntos)
El largo de una caja de madera rectangular mide 9 pies más que su altura y su ancho mide 4 pies
menos que su altura.
(a)

Exprese el volumen de la caja en función de su altura h.

(b)

Si el volumen de la caja es de 180 pies cúbicos, ¿Cuáles son lasdimensiones de la caja?

Tema 5: (15 puntos)

 x  2 si 2  x  0
si 0  x  3
2

(a) Dibuje la representación gráfica de la función f ( x)  
(b)

Dibuje la representación gráfica de la función y  2 f ( x  2)  3

SOLUCIÓN DEL EXAMEN
Tema 1: (30 puntos)
(a)

Resuelva la ecuación:
13sen   12  6 cos2  , para 0    360º

2
2
Utilizamos la identidad cos   1  s en para reescribir la ecuación en
términos del seno de teta,



13sen   12  6 1  s en2



13sen   12  6  6s en2
6sen2  13sen  6  0

Se sustituye u  sen para obtener una ecuación cuadrática en u,
6u2  13u  6  0

Y usando viété,

u

13  132  4*6*6
2 3
  ,
2*6
3 2

Regresando a la variable original se tiene,
3
no es solución ya que el seno de unángulo no puede ser mayor
2
a 1 o menor que -1,
u  sen  

u  sen  



2
 2
   sen 1   
3
 3

6sen2 318.18

318.18

  13sen 318.18   6

la ecuación es 

318.18 .

que

al

comprobar

se

tiene

que

0 con lo que finalmente la solución a

(b)

Resuelva la ecuación:

t2  5t  7  t2  5t  5  0

Tratamos de buscar términossimilares, y considerando el hecho de que el
número siete se puede representar como 7  5  2 , se hace la sustitución:
u  t 2  5t  5

Y la ecuación queda como
u2u  0

Ahora sumamos u a ambos lados y elevamos al cuadrado,



u2



2

2

  u  u  2  u2  u2  u  2  0

Que se puede factorizar como

u2  u  2  u  1u  2  0
Y las soluciones son u  2, 1 y seobtienen las ecuaciones,
2  t 2  5t  5  t 2  5t  3  0

1  t 2  5t  5  t 2  5t  6  0
5  13 5  13
,
,3, 2 de las
2
2
cuales al comprobar solo las dos últimas cumplen, con lo que las soluciones
son t  3, 2 .

Las cuales, utilizando viété dan las soluciones t 

(c)

Resuelva la desigualdad:
1 
1
2
x 2
x 4

Pasamos todos los términos a un lado de ladesigualdad,
1 
1
 1  21
0
2
x 2
x 2 x 4
x 4

Y simplificamos,
1 
1
x 1
0
0
2
x 2 x 4
 x  2  x  2 

Donde ya se pueden observar los puntos críticos (ceros del numerador y del
 1, 2
denominador) que son
, con lo que procedemos a construir una tabla
de intervalos,
Intervalo

Valor de Prueba

Signo Conclusión

x   , 2

-3

-

Si...