Circuitos combinacionales

Circuitos combinacionales

Álgebra de Bool
George Boole (1815-1864) definió un álgebra aplicable a las proposiciones, dicha álgebra consistió de un conjunto con los posibles valores de verdad de una proposición y tres operadores sobre dicho conjunto.

Definimos el álgebra de Bool como B=

a ~ a
0 1
1 0

a b a*b a+b
0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 1

Las operaciones secorresponden a la noción de “y”, “o” y “negación” en lógica y permiten obtener el valor de verdad de una proposición a partir de los valores de verdad de las proposiciones que la constituyen.

Distintas notaciones han sido establecidas en diferentes campos para los valores del conjunto:

Álgebra Programación Diseño de Circuitos
T TRUE 1 H (high)
F FALSE 0 L (low)

Para las operaciones:Álgebra Programación Diseño de Circuitos
Negación (not)  a ~ a ~ a (a’)
Conjunción (AND) a  b a & b a * b (ab)
Disjunción (OR) a  b a OR b a + b
Equivalencia a  b a = b
Disjunción excluyente (XOR) a – b (a  b)

Propiedades
Usamos variables a,b, c... para representar un valor arbitrario del conjunto {0, 1}.

~(~ a)=a
a*1=a neutros
a+0=a
a*0=0 absorbentes
a+1=1a*b=b*a Conmutativa
a+b=b+a
(a*b)*c=a*(b*c) Asociativa
(a+b)+c=a+(b+c)
(a+b)*c=(a*c)+(b*c) Distributiva
(a*b)+c=(a+c)*(b+c)
~(a*b)=(~a+~b) Leyes de De Morgan
~(a+b)=~a+~b

Este álgebra fue aplicada por Shannon al análisis de circuitos digitales construidos con llaves cuyos contactos podían estar cerrados o abiertos. Este álgebra puede utilizarse también para analizar y construir circuitosdigitales binarios.
Un circuito combinacional de n entradas y m salidas se puede formalizar mediante funciones con dominio en {0, 1}n ({0, 1}n={0, 1}x{0, 1}x ... x{0, 1} n-uplas de ceros y unos) y rango en {0, 1}m. Estas funciones se denominan funciones booleanas. A partir de la tabla de una función booleana podemos obtener una expresión del álgebra booleana que representa a la función en términosde las operaciones y posteriormente
mediante las propiedades del álgebra podemos realizar transformaciones para obtener otras expresiones siguiendo algún criterio de eficiencia. Por ejemplo minimizar la cantidad de operaciones que tiene la expresión. Tenga en cuenta que las propiedades nos permiten reemplazar expresiones por sus equivalentes.
Veremos el procedimiento para obtener la expresiónbooleana a partir de la tabla que define a la función booleana.
Dada la siguiente función booleana F:

a b c F(a,b,c)
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1

0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1

~a*b*~c implica que F=1. Tengamos en cuenta que la expresión es verdadera sólo cuando a=0, b=1 y c=0
~a*b*c implica que F=1.
a*~b*~c implica que F=1.
a*b*~c implica que F=1.
a*b*cimplica que F=1.

Si hacemos la suma booleana de todas estas expresiones obtenemos una expresión que representa a la función. Tengamos en cuenta que la suma es igual a 1 cuando al menos uno de sus operandos es igual a 1 y que las expresiones de los condicionales nunca son simultáneamente iguales a 1 para una entrada dada.
De esta forma obtenemos la siguiente suma de productos:

f = ~a*b*~c +~a*b*c + a*~b*~c + a*b*~c + a*b*c.

Un procedimiento similar nos permite hallar la negación de f. Note que la negación tiene menos unos.

~f = ~a*~b*~c + ~a*~b*c + a*~b*~c

Luego aplicando la negación a ambos miembros de la equivalencia y usando las leyes de De Morgan obtenemos otra expresión del tipo producto de sumas que es equivalente a la suma de productos.

f =(a+b+c)*(a+b+~c)*(~a+b+c). ()

Los circuitos combinacionales normalmente son mostrados gráficamente. La razón es que los operadores de una expresión se corresponden con las compuertas del circuito y los nombres de variables se corresponden con los nombres de las señales que se representan mediante cables. Luego es inmediato la obtención de un circuito para una función booleana a partir de su expresión booleana....