Clase_1_ Continuidad

La mayor parte de las funciones que estudiamos, a nivel elemental, presentan en sus grficas una propiedad caracterstica que es la continuidad. La continuidad de una funcin definida en un intervalo significa que pequeas variaciones en el original x ocasionan pequeas variaciones en la imagen y y no un salto brusco de su valor. Intuitivamente esto significa una variacin suave de la funcin sinsaltos bruscos que rompan la grfica de la misma. Ejemplos Definicin. Se dice que una funcin f es continua en un punto x0 si Existe EMBED Equation.3 Existe EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 En forma Matemtica EMBED Equation.3 tal que si EMBED Equation.3 Una funcin que no es continua en un nmero, se dice que es discontinua en dicho nmero. En la grfica de una funcin que es discontinuaen el punto EMBED Equation.3 se puede observar un salto o un hueco precisamente donde EMBED Equation.3 . La discontinuidad puede ser removible o esencial. Tipos de discontinuidades Discontinuidad evitable o removible Existe EMBED Equation.3 pero No existe EMBED Equation.3 Existe EMBED Equation.3 pero EMBED Equation.3 Nota En estos dos casos la discontinuidad desaparececuando se redefine EMBED Equation.3 de tal manera que EMBED Equation.3 . Discontinuidad esencial o inevitable No existe EMBED Equation.3 Nota En estos casos no es posible deshacerse de dicha discontinuidad. Ejemplos. Ejercicios. Analice la continuidad de las siguientes funciones, en el punto indicado EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Determine el(o los) punto(s) de discontinuidadde las siguientes funciones e indique su tipo de discontinuidad. a) EMBED Equation.3 b) EMBED Equation.3 c) EMBED Equation.3 d) EMBED Equation.3 Si EMBED Equation.3 es una funcin tal que EMBED Equation.3 para todo EMBED Equation.3 , demuestre que EMBED Equation.3 es continua es EMBED Equation.3 . Analizala continuidad de la funcin EMBED Equation.3 , indicando, segn sea el caso, los tipos de discontinuidad. Continuidad en un intervalo Una funcin es continua en un intervalo abierto EMBED Equation.2 si es continua en todos y cada uno de los puntos del intervalo. Observacin. Diremos que una funcin EMBED Equation.3 es continua por la derecha en unpunto de su dominio EMBED Equation.3 si se cumple EMBED Equation.3 Diremos que una funcin EMBED Equation.3 es continua por la izquierda en un punto de su dominio EMBED Equation.3 si se cumple EMBED Equation.3 Una funcin es continua en un intervalo cerrado EMBED Equation.2 si es continua en todos los puntos del intervalo abierto EMBED Equation.2 y, adems, EMBED Equation.3 yEMBED Equation.3 . Propiedades Sean EMBED Equation.3 y EMBED Equation.3 funciones continuas en EMBED Equation.3 . Se cumplen las siguientes propiedades La funcin suma EMBED Equation.3 es continua en EMBED Equation.3 La funcin producto EMBED Equation.3 es continua en EMBED Equation.3 . La funcin cociente EMBED Equation.2 es continua en EMBED Equation.3 , siempre queEMBED Equation.3 . Continuidad de funciones importantes Funcin constante La funcin constante f (x) k es continua en todos los puntos. Pues EMBED Equation.3 Funcin potencial La funcin potencial EMBED Equation.3 es continua en todos sus puntos, salvo el caso en que EMBED Equation.3 y EMBED Equation.3 , ya que en estecaso se tendra una funcin racional con denominador nulo. EMBED Equation.3 Funcin polinmica La funcin EMBED Equation.2 , EMBED Equation.3 , es una funcin continua en EMBED Equation.3 , por ser suma de funciones continuas en todos los puntos. EMBED Equation.3 La funcin racional La funcin racional EMBED Equation.2 , donde EMBED Equation.3 y...