Clase 11 Funciones Parte 1

Funciones
1.

Definici´
on

Sean A y B conjuntos no vac´ıos. Una funci´on de A en B es una relaci´on que asigna a cada elemento
x del conjunto A uno y s´olo un elemento y del conjunto B. Se expresa como:
f :A→B
x → f (x) = y

Se dice que y es la imagen de x mediante f , y que x es la pre-imagen de f (x) = y
Dominio: Es el conjunto de todos los valores para los cuales est´a definida la funci´on yse denota
Dom(f ).
Recorrido: Es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente y, y se denota
Rec(f ).
Funci´
on Creciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, tambi´en aumenta la
variable dependiente.
Funci´
on Decreciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye.
Funci´
on Constante: Es aquella que para todoslos valores de la variable independiente, la variable dependiente toma un u
´nico valor.
Evaluaci´
on de una funci´
on: Para encontrar los valores de las im´agenes de una funci´on definida,
se reemplazar´a la variable independiente por el n´
umero o expresi´on que corresponda.
Ejemplo: Si f (x) = 3x − 1, la imagen de −1 ser´ıa f (−1) = 3 · (−1) − 1 = −4. Si la imagen es
29 y la funci´on es f (x) =2x + 1, la pre-imagen se obtendr´a igualando 2x + 1 = 29 de aqu´ı x = 14
pre-imagen.

Funci´
on continua: Es aquella en la que su gr´afica se puede recorrer en forma ininterrumpida
en toda su extensi´on.

Funci´
on discontinua: Es aquella que no es continua, es decir, presenta separaciones y/o saltos
en su gr´afica.

Funci´
on peri´
odica: Es aquella en la que parte de su gr´afica se repite cadacierto intervalo, llamado per´ıodo.

2.

Funci´
on afin

f (x) = mx + n

3.

n=0

Funci´
on lineal
f (x) = mx

4.

a=0

Funci´
on identidad
Funci´on lineal f (x) = ax, con a = 1
f (x) = x
La recta pasa por el origen.
Existe una proporcionalidad directa
entre x e y.

La funci´on y = f (x − h) es la funci´on f (x) trasladada h unidades en el eje x. Si h > 0 el
desplazamiento es en el sentidopositivo del eje x, y si h < 0 es en el sentido negativo (Figura 3 y
4).
La funci´on y = f (x − h) + k es la funci´on f (x) desplazada k unidades en el eje y, y h unidades
en el eje x.
Si f (x) = ax entonces:

5.

Funci´
on valor absoluto

El valor absoluto de un n´
umero real x, denotado por |x| , es siempre un n´
umero real no
negativo.
x , Si x ≥ 0
f (x) = |x| =
x∈R
−x , Si x < 0

6.

Funci´
onconstante
Funci´on de grado cero.
Su gr´afico es una recta horizontal.

Ejercicios, Funciones
1. Si f (x) =

| − 2x + 3|
, entonces f (7) es igual a:
−2

a) 4
17
b)
2
11
c) −
2
11
d)
2
17
e) −
2
2. ¿Cu´al es el dominio de la funci´on f (x) =

√

x2 − 4 en los n´
umeros reales?

a) [2, +∞[
b) [−2, +∞[
c) [0, +∞[
d ) ] − ∞, −2] ∪ [2, +∞[
e) [4, +∞[

3. ¿Cu´al(es) de las siguientes aseveraciones es(son)verdadera(s) respecto del gr´afico de la funci´on f(x), en la figura?
I) f (−2) > f (4)
II) f (−1) + f (3) = f (−3)
III) f (−6) − f (8) = 2
a) S´olo I
b) S´olo II
c) S´olo III
d ) S´olo I y II
e) S´olo II y III
4. Sea f una funci´on en los n´
umeros reales, definida por f (x) = tx + 1 y f (−2) = 5 ¿Cu´al es el
valor de t?
a) −3
b) −2
c) 3

d) 2
3
e)
2
5. Del gr´afico de la funci´on real f (x) = 1− |x|, se puede afirmar que:
a) S´olo II
b) S´olo III

I) Tiene su v´ertice en el punto (0, 0).
II) Sus ramas se abren hacia abajo.

a) 125x
b) 25x
c) 125x2
d ) 25x2
e) Ninguna de las expresiones anteriores.
7. Si f (x) = xa + 1 y f (2) = 9, entonces a =
a) 9
b) 4
c) 3
d) 2
√
e) 8
8. Sea f una funci´on cuyo dominio es R − {−1} definida por f (x) =

1−x
, entonces f (−2) =
x+1

a) 1
b) −1
c) 3

d )−3
1
e) −
3
9. El nivel de agua en un estanque es de 12 m y baja 0, 5 m cada semana. ¿Cu´al de las siguientes
funciones representa la situaci´on descrita relacionando el nivel de agua y con el n´
umero de
semana x?
a) y = −12 + 0, 5x
b) y = −0, 5 + 12x
c) y = 12 + 0, 5x

d ) y = 12 − 3, 5x

e) y = 12 − 0, 5x

10. De acuerdo al gr´afico de la figura, ¿cu´al(es) de las siguientes igualdades...