Clase IntegracionCuadratura 2011 I UNMSM2

´
Introduccion

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M´etodos de Integracion

Cuadratura Gaussiana

M´etodo de Romberg

´ Num´erica
Integracion
Hermes Pantoja Carhuavilca
Facultad de Ingenier´ıa Industrial
Universidad Nacional Mayor de San Marcos

M´etodos Computacionales
Hermes Pantoja Carhuavilca

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Introduccion

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M´etodos de Integracion

Cuadratura Gaussiana

M´etodo de Romberg

C ONTENIDO
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Introduccion
´ Num´ericaIntegracion
´
M´etodos de Integracion
M´etodo del Trapecio
M´etodo de Simpson
Ejemplos
Trapecio Compuesto
Simpson Compuesto
Teorema de Valor Intermedio
Cuadratura Gaussiana
Cuadratura Gaussiana
M´etodo de Romberg
M´etodo de Romberg
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Introduccion

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M´etodos de Integracion

Cuadratura Gaussiana

M´etodo de Romberg

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I NTRODUCCI ON

´ integrable f en elintervalo [a; b],
Para una funcion
considere la integral definida
b

I(f ) =

f (x)dx
a

´
Una formula
para aproximar I(f ) se llama cuadratura o
´
´ num´erica.
formula
de integracion

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Introduccion

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Introduccion

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M´etodos de Integracion

Cuadratura Gaussiana

M´etodo de Romberg

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I NTRODUCCI ON

´ de f en el intervalo [a; b], podemos
Sea fn una aproximacion
´de f en el intervalo
aproximar a I(f ) integrando la aproximacion
´ como In (f ) se obtiene
[a; b], denotando esa aproximacion
b

In (f ) =

´
Introduccion

a

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fn (x)dx

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Introduccion

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M´etodos de Integracion

Cuadratura Gaussiana

M´etodo de Romberg

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I NTRODUCCI ON

´ fn (x) de la funcion
´ f (x) se hace usando
Si la aproximacion
´ polinomio deinterpolacion,
´ la cuadratura resultante
algun
´
se llama formula
de Newton-Cotes.
Por otro lado, si se usa un polinomio que aproxima a la
´ en t´erminos de cuadrados m´ınimos, la cuadratura
funcion
resultante se llama cuadratura gaussiana.

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Introduccion

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Introduccion

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M´etodos de Integracion

Cuadratura Gaussiana

M´etodo de Romberg

C UADRATURAS DE N EWTON -COTES
´ de f que es f´acil de integrar es una que
Una aproximacion
se obtiene tomando
fn (x) = pn (x)
donde pn (x) es un polinomio de grado n o menor.
´ de Lagrange en
Tomamos el polinomio de interpolacion
´ {xi }, i = 0, . . . , n.
los n + 1 nodos de interpolacion
Se obtiene
b n

In (f ) =

´
Introduccion

a i=0

n

f (xi )Ii (x)dx =

Hermes Pantoja Carhuavilca

b

f (xi )
i=0

a

Ii (x)dx

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Introduccion

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M´etodos de Integracion

Cuadratura Gaussiana

M´etodo de Romberg

C UADRATURAS DE N EWTON -C OTES

´
La formula
general de cuadraturas se puede escribir
n

In (f ) =

αi f (xi )
i=0

´ con polinomios de Lagrange es un caso
Interpolacion
b

especial donde αi =

´
Introduccion

a

Ii (x)dx.

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Introduccion

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M´etodos de IntegracionCuadratura Gaussiana

M´etodo de Romberg

M E´ TODO DEL T RAPECIO

´ f por el polinomio de
Se obtiene reemplazando la funcion
´
Lagrange de grado uno en los nodos de interpolacion
x0 = a y x1 = b.
´ con segunda derivada continua y sean
Sea f una funcion
y0 = f (x0 ) y y1 = f (x1 ).

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M´etodos de Integracion

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Introduccion

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M´etodos de Integracion

CuadraturaGaussiana

M´etodo de Romberg

M E´ TODO DEL T RAPECIO
El polinomio de Lagrange de grado uno que interpola los
puntos (x0 , y0 ) y (x1 , y1 ) esta dado por
p1 (x) = y0
con error
E(x) =

x − x1
x − x0
+ y1
x0 − x1
x1 − x0

(x − x0 )(x − x1 )
f (ξ(x))
2!

para ξ entre a y b
De aqu´ı que
f (x) = p1 (x) + E(x)

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M´etodos de Integracion

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Introduccion

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M´etodosde Integracion

Cuadratura Gaussiana

M´etodo de Romberg

M E´ TODO DEL T RAPECIO
Integrando f (x) de x0 a x1
x1

x1

f (x)dx =

x0

x0

p1 (x)dx +

x1

E(x)dx

x0

La primera integral se tiene:
x1
x0

p1 (x)dx = y0

x1
x0

x − x1
dx + y1
x0 − x1

x1
x0

x − x0
dx
x1 − x0

y0 + y1
h
h
= y0 + y1 = h
2
2
2
donde h = x1 − x0

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