CLASE MC 3 FUN MUCHAS VARIABLES MULTIPLI LAGRANGE

7/09/15
 

En
  mecánica
  los
  casos
  mas
  comúnmente
  encontrados
  son
  aquellos
  en
  las
  que
 
  f
 
  es
 
funcional
 de
 varias
 variables;
 

f = f { y1 ( x ), y'1 ( x1 ), y2 ( x ), y'2 ( x ), ; x}

O
 simplemente
 

f = f { yi ( x ), y'i ( xi ) ; x}

i = 1, 2, 3,, n

Donde
 las
 funciones
 vecinas
 son
 

yi (α, x ) = yi( 0, x ) + α ηi ( x )
Desarrollando
 un
 procedimiento
 análogo
 al
 inicial,
 con
 
  J

∂J
=
∂α

)# ∂f

x2

∫ ∑+%$ ∂y

x1

i

*

i

−

x2

=

,
d ∂f &
(ηi ( x ). dx
dx ∂y'i '
-

∫ f { y , y' ; x} dx
i

i

x1

∂J
=0
∂α α =0
Para
 que
 cada
 una
 de
 las
 expresiones
 que
 acompañan
 
 η
 
 i
 (x)

 
 
 ,
 desaparezcan
 de
 manera
 independiente
 
∂f
d ∂f
i = 1, 2, 3,, n
−
=0
Las
 funciones
 
 
 η

 
 
 
 i
 (x)

 
 
 
 
 
 
 
 son
 todas
 independientes
 y
 no
 dependen
 de
 
 
 α

 
 
 
 
 
 y
 
 
 

∂yi

dx ∂y'i

NESTOR
 ALONSO
 ARIAS
 HERNANDEZ
 -­‐
 
FISICA
 -­‐
 2015
 

1
 

Entonces,
 para
 
  n = 3

∂f
d ∂f
∂f
d ∂f
∂f
d ∂f−
= 0 ;
 
−
= 0 ;
 
−
=0
∂y1 dx ∂y'1
∂y2 dx ∂y'2
∂y3 dx ∂y'3

Supongamos
 que
 deseamos
 encontrar
 el
 camino
 más
 corto
 entre
 dos
 puntos
 sobre
 una
 
superficie.
 
  Entonces,
 
 
  adicionalmente
 
  a
 
  las
 
  ecuación
  de
  EULER,
 
  existe
 
  una
 
  condición
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
adicional,
 
 Y
 es
 que
 el
 camino
 debe
 saWsfacer
 la
 ecuación
 de
 una
 superficie
 

g { yi ; x} = 0
Por
 ejemplo,
 cuando
 la
 superficie
 es
 una
 esfera,
 la
 ecuación
 
 

g = ∑ x i2 − ρ 2 = 0
i

Pero,
 por
 lo
 general,
 debemos
 hacer
 explicito
 el
 uso
 de
 las
 ecuaciones
 auxiliares
 
Estas ecuaciones
 son
 también
 llamadas
 “ECUACIONES
 DE
 LIGADURA”
 
NESTOR
 ALONSO
 ARIAS
 HERNANDEZ
 -­‐
 
FISICA
 -­‐
 2015
 

2
 

1
 

7/09/15
 

Consideremos
 el
 siguiente
 caso,
 en
 el
 cual
 

f = f { yi , y'i ; x} = f { y, y', z, z'; x}
Si
 desarrollamos
 
x
d ∂f &
∂J 2 # ∂f
−
( ηi (x) dx
= ∫ ∑%
∂α x1 i $ ∂yi dx ∂y'i '

ηi (x) =

Donde, 

∂yi
∂α

Por
 tanto,
 

∂J
=
∂α

x2

)# ∂f

∫ +%$ ∂y

x1

*

−

1

)
# ∂f
d ∂f &
d ∂f &
−
( η1 (x) + %
( η2 (x)+ dx
dx ∂y'1 '
$ ∂y2 dx ∂y'2 '
*

quedando
 

∂J
=
∂α

x2

)# ∂f

d ∂f & ∂y

#

)

&

∂f ∂z
( + dx
∫ +*%$ ∂y − dx ∂y' (' ∂α + %$ ∂f∂z − dxd ∂z'
' ∂α *

x1

Pero,
 ahora
 también
 existe
 una
 
 “ecuación
 de
 ligadura”
 de
 la
 forma
 

g { yi ; x} = g {y, z; x} = 0
NESTOR
 ALONSO
 ARIAS
 HERNANDEZ
 -­‐
 
FISICA
 -­‐
 2015
 

3
 

∂y
∂z
Y
 la
 variación
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ya
 no
 son
 independientes,
 
 así
 que
 la
 
 expresión
 
 
 
 
 
∂α
∂α

∂f
d ∂f
−
∂yi dx ∂y'i
No
 es
 igual
 a
 cero
 de
 manera individual,
 para
 cuando
 
 α

 

=0

Derivando
 
 
 g

 
 
 
 
 ,
 tenemos
 

dg ∂g ∂y ∂g ∂z ∂g ∂x
=
+
+
=
dα ∂y ∂α ∂z ∂α ∂x ∂α

0

g


 y
 
 
 
 
 
 x

 
 
 
 
 
 
 
 no
 dependen
 de
 
  α

" ∂g ∂y ∂g ∂z %
+
' dα = 0
# ∂y ∂α ∂z ∂α &

dg = $

Ahora,
 las
 funciones
 vecinas
 
 

y (α, x ) = y ( 0, x ) + α η1 ( x )
z(α, x ) = z ( 0, x ) + α η2 ( x )

Si
 calculamos
 

∂y η (x)
= 1
∂α
∂z η (x)
= 2
∂α

Si
 remplazamos
 en
 
 dg
NESTOR
 ALONSO
 ARIAS
 HERNANDEZ
 -­‐
 
FISICA
 -­‐
 2015
 

4
 

2
 

7/09/15
 

∂g
∂g
η1 (x) = − η2 (x)
∂y
∂z

∂g
∂g
η1 (x) + η2 (x) = 0
∂y
∂z
∂J
En
 la
 ecuación
 de
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ,
 nos
 queda
 
 
∂α

∂J
=...