Clotoide

LA CLOTOIDE, RADIOIDE A LOS ARCOS O ESPIRAL DE EULER

La clotoide, también denominada radioide de arcos o espiral de Cornú en honor de Marie Alfred Cornu, es una curva tangente al eje de las abcisas en el origen y cuyo radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella. Es por ello que en el punto origen de la curva, el radio es infinito.

Laexpresión matemática usual es:

siendo
 el radio de curvatura
 el desarrollo o arco
 la constante de la espiral



ELEMENTOS GEOMETRICOS DE LA ESPIRAL CLOTOIDE








TE = Punto de empalme entre la recta y la espiral
EC = Punto de empalme entre la espiral y el arco circular
CE = Punto de empalme entre el arco circular y la espiral
ET = Punto de empalme entre la espiral y larecta
∆   = Deflexión de la curva.
Rc = Radio curva circular
Le = Longitud curva espiral
Өe = Delta o deflexión curva espiral
Xc = Coordenada X de la espiral en los puntos EC y CE
Yc = Coordenada Y de la espiral en los puntos EC y CE
P   = Disloque = Desplazamiento del arco circular con respecto a la tangente
K  = Abscisa Media. Distancia entre el TE y el punto donde se produce el disloqueTe = Tangente de la curva. Distancia TE – PI y PI - ET
Ee = Externa
Tl  = Tangente larga. Distancia entre TE o ET y PIe
Tc = Tangente corta. Distancia entre PIe y EC o CE
Ce = Cuerda larga de la espiral. Línea que une TE con EC y CE con ET
Ф  = Angulo de la cuerda larga de la espiral
∆c = Deflexión de la curva circular
G  = Grado de curvatura circular
Lc = Longitud curva circular Cc =Cuerda larga circular

Estudio de la Clotoide o Espiral de Euler.
Su expresión más simple es           A2 = R x L
Corresponde a la espiral con más uso en el diseño de carreteras, sus bondades con respecto a otros elementos geométricos curvos, permiten obtener carreteras cómodas, seguras y estéticas.
Las principales ventajas de las espirales en alineamientos horizontales son las siguientes:-   Una curva espiral diseñada apropiadamente proporciona una trayectoria natural y fácil de seguir por los conductores, de tal manera que la fuerza centrífuga crece o decrece gradualmente, a medida que el vehículo entra o sale de una curva horizontal.
-   La longitud de la espiral se emplea para realizar la transición del peralte y la del sobreancho entre la sección transversal en línea recta y lasección transversal completamente peraltada y con sobreancho de la curva.
-   El desarrollo del peralte se hace en forma progresiva, con lo que se consigue que la pendiente transversal de la calzada sea, en cada punto, la que corresponde al respectivo radio de curvatura.
-   La flexibilidad de la clotoide y las muchas combinaciones del radio con la longitud, permiten la adaptación a la topografía,y en la mayoría de los casos la disminución del movimiento de tierras, para obtener trazados más económicos.
Con el empleo de las espirales en autopistas y carreteras, se mejora considerablemente la apariencia en relación con curvas circulares únicamente.  En efecto, mediante la aplicación de espirales se suprimen las discontinuidades notorias al comienzo y al final de la curva circular (téngaseen cuenta que sólo se utiliza la parte inicial de la espiral), la cual se distorsiona por el desarrollo del peralte, lo que es de gran ventaja también en el mejoramiento de carreteras existentes.
Ecuaciones Paramétricas
La clotoide se puede definir como una curva tal que su radio es inversamente proporcional a su longitud.  Su ecuación intrínseca es:

Donde:
L          :           Longituddesde el origen a los puntos indicados, (m)
R         :           Radios en los puntos indicados, (m)
A         :           Parámetro de la clotoide, (m)
Parámetro A
a.  Consideraciones generales
- Por definición, en las clotoides la curvatura varía gradualmente desde cero (0) en la tangente, hasta un valor máximo correspondiente al de la curva circular espiralizada, ya que el radio de la...