clotoide

ELEMENTOS GEOMETRICOS DE LA ESPIRAL CLOTOIDE








TE = Punto de empalme entre la recta y la espiral
EC = Punto de empalme entre la espiral y el arco circular
CE = Punto de empalme entre el arco circular y la espiral
ET = Punto de empalme entre la espiral y la recta
∆   = Deflexión de la curva.
Rc = Radio curva circular
Le = Longitud curva espiral
Өe = Delta o deflexión curvaespiral
Xc = Coordenada X de la espiral en los puntos EC y CE
Yc = Coordenada Y de la espiral en los puntos EC y CE
P   = Disloque = Desplazamiento del arco circular con respecto a la tangente
K  = Abscisa Media. Distancia entre el TE y el punto donde se produce el disloque
Te = Tangente de la curva. Distancia TE – PI y PI - ET
Ee = Externa
Tl  = Tangente larga. Distancia entre TE o ET yPIe
Tc = Tangente corta. Distancia entre PIe y EC o CE
Ce = Cuerda larga de la espiral. Línea que une TE con EC y CE con ET
Ф  = Angulo de la cuerda larga de la espiral
∆c = Deflexión de la curva circular
G  = Grado de curvatura circular
Lc = Longitud curva circular
Cc = Cuerda



Estudio de la Clotoide o Espiral de Euler.
Su expresión más simple es           A2 = R x L
Corresponde ala espiral con más uso en el diseño de carreteras, sus bondades con respecto a otros elementos geométricos curvos, permiten obtener carreteras cómodas, seguras y estéticas.
Las principales ventajas de las espirales en alineamientos horizontales son las siguientes:
-   Una curva espiral diseñada apropiadamente proporciona una trayectoria natural y fácil de seguir por los conductores, de tal maneraque la fuerza centrífuga crece o decrece gradualmente, a medida que el vehículo entra o sale de una curva horizontal.
-   La longitud de la espiral se emplea para realizar la transición del peralte y la del sobreancho entre la sección transversal en línea recta y la sección transversal completamente peraltada y con sobreancho de la curva.
-   El desarrollo del peralte se hace en formaprogresiva, con lo que se consigue que la pendiente transversal de la calzada sea, en cada punto, la que corresponde al respectivo radio de curvatura.
-   La flexibilidad de la clotoide y las muchas combinaciones del radio con la longitud, permiten la adaptación a la topografía, y en la mayoría de los casos la disminución del movimiento de tierras, para obtener trazados más económicos.
Con el empleo delas espirales en autopistas y carreteras, se mejora considerablemente la apariencia en relación con curvas circulares únicamente.  En efecto, mediante la aplicación de espirales se suprimen las discontinuidades notorias al comienzo y al final de la curva circular (téngase en cuenta que sólo se utiliza la parte inicial de la espiral), la cual se distorsiona por el desarrollo del peralte, lo que esde gran ventaja también en el mejoramiento de carreteras existentes.

Ecuaciones Paramétricas
La clotoide se puede definir como una curva tal que su radio es inversamente proporcional a su longitud.  Su ecuación intrínseca es:



Donde:
L: Longitud desde el origen a los puntos indicados, (m)
R: Radios en los puntos indicados, (m)
A: Parámetro de la clotoide, (m)

Parámetro A
a. Consideraciones generales
- Por definición, en las clotoides la curvatura varía gradualmente desde cero (0) en la tangente, hasta un valor máximo correspondiente al de la curva circular espiralizada, ya que el radio de la curva, en cualquier punto de la espiral, varía con la distancia desarrollada a lo largo de la misma, manteniendo su parámetro A constante.  Es decir, aún cuando el radio y la longitudde los distintos puntos de la clotoide tienen diferentes valores, estos están ligados entre sí, de modo que su producto es un valor constante, pudiéndose fácilmente calcular uno de ellos cuando se conoce el valor del otro;
- Las clotoides de parámetro A grande, aumentan lentamente su curvatura y, por consiguiente, son aptas para la marcha rápida de los vehículos.  Las espirales de parámetro A...