Combinaciones De Funciones

COMBINACIÓN DE FUNCIONES.
Sí dos funciones f y g están definidas para todos los números reales x y sí f(x) y g(x) son ambos números reales, entonces es posible realizar operaciones numéricas reales como la suma, la resta, la multiplicación y la división con f(x) y g(x). Además, sí g(x) es un número en el dominio de f, entonces también es posible evaluar a f en g(x).



CombinacionesAritméticas: Dos funciones se pueden combinar mediante las cuatro operaciones aritméticas.

Combinaciones aritméticas: Sí f y g son dos funciones, entonces la suma f + g, la resta f – g, el producto fg y el cociente f/g se definen de la siguiente forma:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f – g)(x) = f(x) – g(x)

(f.g)(x) = f(x).g(x)

(f/g)(x) = f(x)/g(x), siempre que g(x) ≠ 0

Dominio deuna combinación aritmética: cada función, resultado de la combinación, está definida en la intersección de los dominios de f y g, es decir, que el dominio de cada función, es el conjunto de los números reales que son comunes a ambos dominios, excepto que los valores de x donde g(x) = 0 se deben excluir del dominio de la función cociente.

Ejemplo 1. Dadas las funciones f(x)= x2 + 4x y g(x)= x2 –9; las combinaciones aritméticas de estas funciones serían:



(f + g)(x) = f(x) + g(x) = (x2 + 4x) + (x2 – 9) = x2 + 4x + x2 – 9

= 2x2 + 4x – 9 Dom. (f + g)(x): R

(f – g)(x) = f(x) – g(x) = (x2 + 4x) – (x2 – 9) = x2 + 4x – x2 + 9

= 4x + 9 Dom. (f – g)(x): R

(f.g)(x) = f(x).g(x) = (x2 + 4x) (x2 – 9) = x4 + 4x3 – 9x2 – 36x

Dom. (f.g)(x): R(f/g)(x) = f(x)/g(x) = (x2 + 4x)/( x2 – 9)

Dom. (f/g)(x): R excepto x = - 3 y x = 3

En notación de Intervalo: (-∞, -3)U(-3,3)U(3,∞)

Ejemplo 2. Sean f(x) = [pic] y g(x) = [pic]; encontrar las funciones f+g, f-g, fg y f/g y determinar los correspondientes dominios.

(f+g)(x)= [pic] + [pic]

(f-g)(x)= [pic] - [pic]

(fg)(x)= ([pic])([pic])= [pic]= [pic]

= [pic]

(f/g)(x)= [pic] = [pic]

Dominios de f y g:

Dom. de f: x ≤ 4 o ( - ∞, 4] HACER GRÁFICO

Dom. de g: x ≥ - 3 o [ - 3, ∞)

La intersección de ambos intervalos es: ( - ∞, 4]([ - 3, ∞) = [ -3, 4]

Para el dominio de la función cociente, f(x)/g(x), el dominio no debe incluir aquellos valores que hacen ceroal denominador, porque la división por cero no está definida, por lo tanto, el dominio de la función cociente sería ( - 3, 4 ].(Hacer gráfico)



Ejemplo 3. Sean f(x) = [pic] y g(x) = [pic]; encontrar las funciones f+g, f-g, fg y f/g y determinar los correspondientes dominios.

Ejemplo 4. Sean f(x) = [pic] y g(x) = [pic]; encontrar las funciones f+g, f-g, fg y f/g y determinar loscorrespondientes dominios.

Composición de Funciones.

Otro método para combinar las funciones f y g se llama Composición de Funciones. Para ilustrar el concepto, supongamos que para una x dada en el dominio de g, el valor de la función g(x) es un número en el dominio de la función f; esto quiere decir, que se puede evaluar f en g(x), es decir, que se puede evaluar f[g(x)].

Composición deFunciones.

Sí f y g son dos funciones, la composición de f y g, representada por f o g, es la función definida por:

(f o g)(x) = f(g(x))

El Dominio de f o g es el conjunto de todos los números reales x en el dominio de g donde g(x) está en el dominio de f.

La composición de g y f, representada por g o f, es la función definida por:

(g o f)(x) = g(f(x))

El Dominio de g o f esel conjunto de todos los números reales x en el dominio de f donde f(x) está en el dominio de g.

El dominio de f o g es siempre un subconjunto del dominio de g y el rango de f o g es siempre un subconjunto del rango de f. (hacer gráfico)

Cuando se calcula una composición como (f o g)(x) = f(g(x)), no olvidar sustituir toda x que aparezca en f(x), en g(x).

Ejemplo 1. Sí f(x) = x2 + 3x...