Combinatoria y probabilidad
Páginas: 9 (2021 palabras)
Publicado: 27 de enero de 2011
CÁLCULO COMBINATORIO
La combinatoria tiene por fin estudiar las distintas agrupaciones de los objetos, prescindiendo de la naturaleza de los mismos pero no del orden. Estudiaremos como se combinan los objetos, cálculo que nos determinará la cantidad de grupos que se podrán formar con los datos dados. Por lo tanto para distinguir entre sí los elementos de cada conjunto considerado, losdesignaremos con letras o con otra notación que evite confundir unos con otros. Antes de comenzar con esto veamos una función importante en matemática: Función factorial Se denomina función factorial y se la designa como “!” a una función f : f(0) = 1 ; f(1) = 1 ; f(n +1) = (n +1) f(n) Simbólicamente, para indicar f(n) escribimos simplemente n! y se lee "n factorial" 0! = 1; 1! = 1; (n + 1)! = (n + 1) n!La función factorial se calcula como el producto de todos los números (en forma decreciente) desde ese número hasta el uno. Así tenemos que: 5! = 5.4.3.2.1 entonces 5! = 120 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 entonces 10! = 3628800
El factorial de un número se puede también calcular como ese número por el factorial del número anterior (n + 1)! = (n + 1) . n! . Así tendremos: 7! = 7. 6! 1.-VARIACIONES. o Variaciones sin Repetición:
Supongamos que disponemos de tres casillas y de cuatro letras a, b, c, d y que nos plantean el siguiente problema: ¿de cuántas maneras distintas podemos llenar las casillas con dichas letras si no se permite repetir las mismas y todas las casillas deben quedar llenas?
Definición: Dado un conjunto finito de “m” elementos, agrupados de a “n” elementos,llamamos variación simple a todo subconjunto ordenado formado por “n” objetos cualesquiera (n ≤ m) elegidos entre ellos, conviniendo en considerar como distintas dos variaciones cuando: difieren en algún elemento ó si tienen los mismos elementos entonces están en distinto orden. difieren
Esto significa que para las variaciones el grupo “a, b, c” y el grupo “a, c, b” son distintos ya que tienen losmismos elementos pero están en distinto orden.
La fórmula que permite calcular las variaciones de “m” elementos agrupados de a “n” elementos es: Ejemplo: se tienen tres números los que se agrupan de a dos ¿cuántas variaciones podremos tener?. Supongamos que tenemos 1, 2, 3. 12 13 21 23 31 32
Tenemos: Nótese que no se repite el mismo número dos veces, de lo contrario la cantidad de variacionessería mucho mayor. o Variaciones con Repetición
n
Sencillamente, si hacemos variaciones de “m” elementos agrupados de a “n” elementos, tendremos m n agrupaciones. V = m . En el ejemplo anterior, deberíamos agregar 11
cantidad de posibles
2
, 22 y 33 con lo que la cuenta sumaría nueve variaciones posibles, o sea, 3 .
1
2.- PERMUTACIÓN SIMPLE.
Definición: Dado un conjunto finito de“m” elementos, llamamos permutación simple a todo conjunto ordenado formado con los
“m” objetos. Obviamente como todos los grupos tienen los “m” elementos la única posibilidad que existe para que dos grupos sean distintos es que tengan los elementos en distinto orden. Las permutaciones pueden ser definidas también como las variaciones de “m” elementos tomados de a “m” ( V m,m ) La formula quepermite calcular las permutaciones es: P m = m! Tomando el ejemplo de los tres números: 3! = 3 . 2 . 1 = 6 123 3.- COMBINACIÓN. 132 213 231 312 321
Definición: Dado un conjunto finito de “m” elementos, agrupados de a “n” elementos, llamamos combinación simple a todo subconjunto ordenado formado por “n” objetos cualesquiera (n ≤ m) elegidos entre ellos , conviniendo en considerar como distintas doscombinaciones cuando: difieren en algún elemento.
Esto significa que para las combinaciones el grupo “a, b, c” y el grupo “a, c, b” son iguales ya que tienen los mismos elementos.
La fórmula que permite calcular las combinaciones de “m” elementos agrupados de a “n” elementos es: En este caso el ejemplo de las combinaciones lo importante es el número, no como se ordene. 1 2 es lo mismo que 2...
La combinatoria tiene por fin estudiar las distintas agrupaciones de los objetos, prescindiendo de la naturaleza de los mismos pero no del orden. Estudiaremos como se combinan los objetos, cálculo que nos determinará la cantidad de grupos que se podrán formar con los datos dados. Por lo tanto para distinguir entre sí los elementos de cada conjunto considerado, losdesignaremos con letras o con otra notación que evite confundir unos con otros. Antes de comenzar con esto veamos una función importante en matemática: Función factorial Se denomina función factorial y se la designa como “!” a una función f : f(0) = 1 ; f(1) = 1 ; f(n +1) = (n +1) f(n) Simbólicamente, para indicar f(n) escribimos simplemente n! y se lee "n factorial" 0! = 1; 1! = 1; (n + 1)! = (n + 1) n!La función factorial se calcula como el producto de todos los números (en forma decreciente) desde ese número hasta el uno. Así tenemos que: 5! = 5.4.3.2.1 entonces 5! = 120 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 entonces 10! = 3628800
El factorial de un número se puede también calcular como ese número por el factorial del número anterior (n + 1)! = (n + 1) . n! . Así tendremos: 7! = 7. 6! 1.-VARIACIONES. o Variaciones sin Repetición:
Supongamos que disponemos de tres casillas y de cuatro letras a, b, c, d y que nos plantean el siguiente problema: ¿de cuántas maneras distintas podemos llenar las casillas con dichas letras si no se permite repetir las mismas y todas las casillas deben quedar llenas?
Definición: Dado un conjunto finito de “m” elementos, agrupados de a “n” elementos,llamamos variación simple a todo subconjunto ordenado formado por “n” objetos cualesquiera (n ≤ m) elegidos entre ellos, conviniendo en considerar como distintas dos variaciones cuando: difieren en algún elemento ó si tienen los mismos elementos entonces están en distinto orden. difieren
Esto significa que para las variaciones el grupo “a, b, c” y el grupo “a, c, b” son distintos ya que tienen losmismos elementos pero están en distinto orden.
La fórmula que permite calcular las variaciones de “m” elementos agrupados de a “n” elementos es: Ejemplo: se tienen tres números los que se agrupan de a dos ¿cuántas variaciones podremos tener?. Supongamos que tenemos 1, 2, 3. 12 13 21 23 31 32
Tenemos: Nótese que no se repite el mismo número dos veces, de lo contrario la cantidad de variacionessería mucho mayor. o Variaciones con Repetición
n
Sencillamente, si hacemos variaciones de “m” elementos agrupados de a “n” elementos, tendremos m n agrupaciones. V = m . En el ejemplo anterior, deberíamos agregar 11
cantidad de posibles
2
, 22 y 33 con lo que la cuenta sumaría nueve variaciones posibles, o sea, 3 .
1
2.- PERMUTACIÓN SIMPLE.
Definición: Dado un conjunto finito de“m” elementos, llamamos permutación simple a todo conjunto ordenado formado con los
“m” objetos. Obviamente como todos los grupos tienen los “m” elementos la única posibilidad que existe para que dos grupos sean distintos es que tengan los elementos en distinto orden. Las permutaciones pueden ser definidas también como las variaciones de “m” elementos tomados de a “m” ( V m,m ) La formula quepermite calcular las permutaciones es: P m = m! Tomando el ejemplo de los tres números: 3! = 3 . 2 . 1 = 6 123 3.- COMBINACIÓN. 132 213 231 312 321
Definición: Dado un conjunto finito de “m” elementos, agrupados de a “n” elementos, llamamos combinación simple a todo subconjunto ordenado formado por “n” objetos cualesquiera (n ≤ m) elegidos entre ellos , conviniendo en considerar como distintas doscombinaciones cuando: difieren en algún elemento.
Esto significa que para las combinaciones el grupo “a, b, c” y el grupo “a, c, b” son iguales ya que tienen los mismos elementos.
La fórmula que permite calcular las combinaciones de “m” elementos agrupados de a “n” elementos es: En este caso el ejemplo de las combinaciones lo importante es el número, no como se ordene. 1 2 es lo mismo que 2...
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