Combinatoria

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TRABAJO COMBINATORIA
Gabriel Fernández Escribano
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TRABAJO MATEMÁTICAS PARA MAESTROS:
0) Introducción
1) Números combinatorios. Propiedades
2) Triángulo de Tartaglia
3) Binomio de Newton
4) Bibliografía
1) NÚMEROS COMBINATORIOS:

Se define número combinatorio o coeficiente binómico como el valor numérico
delas combinaciones ordinarias (sin repetición) de un conjunto de n elementos
tomados en grupos de r, siendo n y r dos números enteros y positivos tales que
n ³ r. Matemáticamente, un número combinatorio se expresa como:

Los números combinatorios se leen «n sobre r».
La combinatoria es la rama de las matemáticas que se dedica a buscar
métodos para contar elementos de un conjunto o la forma deagrupar
elementos de un conjunto.
Por ejemplo, Si hay un grupo de 5 chicos, Alejandro, Bernardo, Carlos, David y
Ernesto, de los cuales se deben elegir 2 para realizar una tarea determinada.
Ahora nos preguntamos: ¿cuántas maneras tenemos para escoger estos dos
chicos?
Una elección podría ser Alejandro y Carlos, o también David y Bernardo. Pero
si se tuvieran que probar todas lasposibilidades a mano, ¡se tardaría mucho
tiempo! No obstante, con ayuda de la combinatoria, como se verá más
adelante, es muy rápido calcularlo: resulta que hay 10 posibilidades diferentes).
Éstos son dos conceptos básicos en el análisi combinatorio, es decir, el
factorial y los números combinatorios.

Llamaremos al resultado de multiplicar todos los números desde el 1 hasta n, el
factorial delnúmero n. Para escribirlo se hace mediante el símbolo n!. Es decir:
n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)…1
1!=23!=3⋅2⋅1=64!=4⋅3⋅2⋅1=24
Por definición, se dice que el factorial de 0 es 1, es decir: 0!=1
Por otro lado, llamamos a lo siguiente el número combinatorio n sobre k :
(nk)=n!k!⋅(n−k)!
Por ejemplo, el número combinatorio 4 sobre 3 es:
(42)=4!2!(4−2)!=4!2!⋅2!=4⋅3⋅/2⋅/1/2⋅/1⋅2⋅1=3⋅2=6
Como en el ejemplo, parafacilitar los cálculos es muy recomendable simplificar
las fracciones antes que nada, porque así se evitan muchos cálculos.

1.1_PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS:
1) Cualquier número entero positivo sobre cero es igual a 1

2) Cualquier número entero positivo m sobre 1 es igual a m

3) Cuando la suma de los números que representan el número de
elementos por grupo es igual al númerode elementos, podemos decir que
los dos números combinatorios son iguales:

Lo comprobamos:

4) La suma de dos números combinatorios con el mismo número de
elementos y los números que representan los elementos por grupo son
consecutivos es otro número combinatorio en el que el número de
elementos aumenta en una unidad y el número de elementos por grupo es
el del mayor:

Locomprobamos:

Sacamos factor común, en el numerador a, m!:

2) TRIÁNGULO DE TARTAGLIA
En Matemáticas hay infinidad de triángulos, y algunos de ellos merecen
especial mención. El Triángulo de Tartaglia no es un triángulo en el sentido
geométrico de la palabra, sino una colección de números dispuestos en forma
triangular que se obtienen de una manera muy sencilla.

Como se puede observar, en lacúspide del triángulo hay un 1, en la segunda
fila hay dos 1, y las demás filas empiezan con 1 y terminan con 1, y cada
número intermedio se obtiene sumando los dos que se encuentran justo
encima.
El Triángulo de Tartaglia, llamado también de Pascal, es infinito. Podemos
construir todas las filas que queramos. En el ejemplo de arriba hemos
desarrollado once filas. Por convenio, a la primera...