Comp LGR 05

TÉCNICAS DE COMPENSACIÓN USANDO EL
LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES.
Efecto de añadir Polos y Ceros a GH(s).

Adición de Polos.
En general, la adición de polos en el semiplano izquierdo
produce una deformación del L.G.R hacia la derecha.

Sea:
GH(s) =

K
s(s + a )

donde a>0

Si

Si

K
s(s + b )(s + a )

con b > a

K
s ( s + c)( s + b)( s + a )

con c > b > a

Adición de ceros:

En general, alañadir ceros en el semiplano izquierdo, se estabiliza el

sistema, deformándose el L.G.R hacia la izquierda.

K
GH(s) =
s(s + a )

Si

Si

K (s + b)
GH(S) =
s(s + a )

Si

GH(S) =

K (s + c)
s(s + a )(s + b)

c > b >a

jω

σ

0

-b

-a

jω

σ 0 -c

-b

-a

DISEÑO DE COMPENSADORES

Controlador Industrial Ideal

P

PD

Compensador eléctrico real

Kc

Kc

Kc

Kc (1 + TDS )

1 + TS
1 + αTS

α<1(adelanto)

PI

1 ⎞ Kc ⎛ T iS + 1 ⎞
⎛
Kc ⎜1 +
⎟=
⎜
⎟
⎝ TiS ⎠ Ti ⎝ S ⎠

Kc

1 + TS
1 + βTS

β>1

(atraso)

PID

2
1
⎛
⎞ Kc ⎛ TDTIS + TiS + 1 ⎞
⎟⎟
⎜⎜
Kc ⎜1 +
+ TDS ⎟ =
S
⎝ T iS
⎠ Ti ⎝
⎠

Kc

1 + T 1S
1 + T 2S
.
1 + (T 1 / β )S 1 + βT 2 S

adelanto

- atraso
β> 1

COMPENSACIÓN EN ADELANTO.

Función de Transferencia de un compensador en adelanto

1
T
Gc = Kc´
1
s+
αT
s+

Gc = K c

1 + Ts
1 + αTs

0,07≤α< 1K c ´=

Kc

α

Función de Transferencia del sistema compensado, donde FTLA = G(S)

G1(S ) = Gc ⋅ G (S )

1
⎛
s+
⎜
⎛ 1 + Ts ⎞ K c
T
.G (s ).⎜
G1(S ) = KcG (S )⎜
⎟=
⎜s+ 1
⎝ 1 + αTs ⎠ α
⎜
αT
⎝

⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

PROCEDIMIENTO PARA DISEÑAR UN COMPENSADOR EN
CASCADA DE ADELANTO POR EL METODO DEL L.G.R.
Básicamente este procedimiento está enfocado a la búsqueda del
polo y del cero del compensador:
1.-Dibujar el L.G.R. del sistema sin compensar.
2.- Determinar si es posible cumplir con las especificaciones del
problema con ese L.G.R. (esto implicaría solo un ajuste de Kc)
3.- Si no, entonces ubicar los polos dominantes deseados PD tal que
se cumplan las especificaciones.

4.- Encontrar la contribución angular (φc) que debe suplir el
compensador en el polo PD, para lograr que éste pertenezca alLGR
del sistema compensado.
Esta contribución se obtiene por:
/G1 =

/Ceros de G(s) - /Polos de G(s) + φc = 180o

Con S=PD
NOTA: Cuando φc > 60o, generalmente se usa más de un
compensador en adelanto u otro tipo de compensador.
5.- Obtener la pareja cero-polo del compensador que produzca el
ángulo φc en el polo Pd deseado, para ello se une Pd con el origen,
se pasa una recta por Pd, se encuentra labisectriz entre las rectas
APd y PdO. Luego se dibujan las rectas PdD y PdE, tal como se
muestra en la figura. De esta forma se encuentran el polo y el cero
del compensador en adelanto.

6.- Chequear el estado estacionario del sistema compensado.
Para ello se sabe que la F.T.L.A. del sistema compensado es:

G'1 = GcG(S) = Kc G(S).

1 + TS
1 + αTs

Consideremos a K0 = ganancia de la F.T.L.A.original. Luego
podemos decir:
K1 = K0 Kc
K1 puede ser calculada de la condición de magnitud, aplicada al
sistema compensado en S=PD
K0 generalmente es dada o se conoce con la condición de
magnitud de la F.T.L.A. original,(en los polos originales del
sistema).

∴

Kc = K1/K0

7.-Dibujar por último el L.G.R. del sistema compensado, para
chequear si se cumplen todas las especificaciones.

Ejemplo deCompensación en Adelanto

Se tiene la planta de tipo 1 siguiente:

G (S ) =

400
s s 2 + 30 s + 200

(

)

Se desea una respuesta a lazo cerrado con:
ξ=0.5

y

ωn=13.5rad/seg

La F.T.L.A actual produce en lazo cerrado polos en:
(-4.2± 0.93j)

y

-21.59

El sistema entonces no tiene sobreimpulso, pero
ess(rampa)=

1
= 0.5
Kv

S1=PD

φ/2
φc/2

-b

-a

Polos Deseados: S1 = - 6.75 ± 11.69 j

Luego:Entonces:

φ = ∠S1 ≅ 120º

=>

θp ≅ 32°

θz ≅ 87.9°

Pc = -25.41

Kc´=

y

φc ≅ ±180°- ∠G(S1) = 55.8°

Zc= -7.16

S1 + Pc

G (S1) S1 + Zc

El compensador será en definitiva:

= 13.62

Gc ≅ 13.62

S + 7.16
S + 25.41

Procedimiento Alternativo:
Procedimento geométrico de compensación:
S1=PD

φ/2
φc/2

-b
Si:

-a

φ = ∠(S1)

; φc = ± 180º - ∠G(S1)

θp = φ - φc
2

y

θz = φ + φc
2

Calcular:
Pc = -b =...