Complemento

Instituto Profesional Virginio Gómez
Sede Los Ángeles.

GUIA DE EJERCICIOS Nº2


Asignatura : Complemento de Cálculo.


TEMA: DERIVADAS PARCIALES DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES. APLICACIONES.


Problema Nº1.- Dada las siguientes funciones:
f(x,y)= xy(x2-3y) g(x,y)= x+y-5
(x+y)2 25-x2-y2
a) Determine el dominio de f y g.b) Determinar las derivadas parciales de primer orden de f y g.

Problema Nº2.- Halle las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones. Evalúe cada derivada parcial en el punto (0,1):
a) f(x,y)=x2+2xy2+2y
3x
b) z=(x2+xy+y)5
c) f(x,y)=xe-2xy
d) f(x,y)=2x+3y
y-x
e) f(x,y)=ln(x+2y)
y2
e)f(x,y)= xln(xy)
f) f(x,y)=xex+2y
g) f(x,y)=5x2y+2xy3+3y2
h) f(x,y)=(x+xy+y)3



Problema Nº3.- Determine las segundas derivadas parciales de:
a) f(x,y)= 5x4y3+2xy
b) f(x,y)= x+1
y-1
c) f(x,y)= exy
d) f(x,y)= ln(x2+y2)
e) f(x,y)= x2yex




Problema Nº4.- Determine los extremos relativos de las siguientes funciones:
a) f(x,y)=x3+y2-6x2+y-1 R. –133/4 mínimo
b) f(x,y)= x3+y3+3y2-3x-9y+2 R. 5 mín y 31 máx
c) f(x,y)= 2x4+y2-x2-2y R. –9/8 mínimo
d) f(x,y)= 6x-4y-x2-2y2 R. 11 máximo
e) f(x,y)= 4xy2-2x2y-x R. 0 Pto. Silla
f) f(x,y)= y2-x2+2x-4y+3 R. 0 Pto. Silla
g) f(x,y)= x2+y2-4x-2y+7 R. 2 mínimo

Problema Nº5.- (Análisis Marginal). Se estima que la producción semanal de cierta Planta estádada por la función Q(x,y)=1200x+500y+x2y-x3-y2 unidades, donde x unidades es el número de trabajadores calificados e y el de trabajadores No calificados que se emplean en la Planta. Actualmente, la fuerza laboral está formada por 30 trabajadores calificados y 60 No calificados. Utilice análisis marginal para estimar el cambio en la producción semanal que resultará de la adición de un trabajadorcalificado más, si el número de trabajadores No calificados No cambia.

Problema Nº6.- Un fabricante estima que la producción mensual de cierta fábrica está dada por la función de Cobb.-Douglas Q(K,L)=50K0,4L0,6, donde K es el capital en unidades de $1000 y L es la fuerza laboral medida en horas trabajador:
a) Encuentre la productividad marginal del capital, QK, y la productividad marginal deltrabajo, QL, cuando el capital es de $750.000 y el nivel de la fuerza laboral es 991 horas-trabajador.
b) ¿El fabricante debe considerar invertir en capital o aumentar el nivel de la fuerza laboral para aumentar la producción?.

Problema Nº7.- (Bienes sustitutos y complementarios). Suponga que la función demanda de harina en cierta comunidad está dada por: D1(p1,p2)=500+10-5p2p1+2
mientras que la demanda correspondiente de pan está dada por: D2(p1,p2)=400-2p1+7
p2+3
donde p1 es el precio en dólares de una libra de harina y p2 es el precio de una barra de pan. Determine si la harina y el pan son artículos sustitutos, complementarios o ninguno de los dos.

Problema Nº8.-(Derivadas de Orden Superior). Suponga que la producción Q de una fábrica depende de la cantidad K de capital invertido en la planta y en equipos y, también, depende del tamaño L de la fuerza laboral, medida en horas-trabajador. Dé una interpretación económica del signo de la derivada parcial de segundo orden d2Q/dL2.

Problema Nº9.- El único almacén de comestibles de una pequeña comunidad rural vendedos marcas de jugo de naranja helado: una marca local, que obtiene a un costo de 30 centavos por lata, y una marca nacional, muy conocida, que obtiene a un costo de 40 centavos por lata. El dueño calcula que si la marca local se vende a x centavos por lata y la marca nacional se vende a y centavos por lata, cada día venderá aproximadamente 70-5x+4y latas de la marca local y 80+6x-7y latas de la...