Concepto De Geometria Y Coordenada

Geometr´ m´trica y proyectiva en el plano ıa e con coordenadas baric´ntricas. Algunos t´picos e o
Angel Montesdeoca Versi´n 2.1212191945 o

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Introducci´n o

Comenzamos, despu´s de adoptar unas notaciones y recordar algunas propiedades relativas a e tri´ngulos, dando el concepto de coordenadas baric´ntricas en el plano, a fin de utilizarlas para a e hacer un estudio anal´ ıtico de lageometr´ del tri´ngulo, que nos permitir´ obtener demostraciones ıa a a (no necesariamente las m´s directas o sencillas) de algunas de las numerosas y ricas propiedades a de las que goza esta simple figura geom´trica. Con este tratamiento se logra obtener resultados, e sin necesidad de conocer de antemano ciertas propiedades del tri´ngulo, salvo acaso algunas, tales a como que la suma de sus ´ngulo esdos rectos, que el ´rea es la mitad del producto de un lado por a a la altura correspondiente, los teoremas del seno y coseno, etc.. . . Este procedimiento puede ser, en ciertos casos, engorroso y tal vez geom´tricamente prosaico, carente de la elegancia e ingenio e propios de la geometr´ sint´tica; pero, por el contrario (sin entrar en la controversia entre geometr´ ıa e ıa anal´ ıtica osint´tica: ambas son igualmente v´lidas), goza de la ventaja de saber c´mo empezar y e a o proceder en la resoluci´n de unos problemas determinados. o Dado que a lo largo de esta exposici´n se van intercalando ejemplos relativos a los conceptos o introducidos, es necesario indicar que existen ciertos p´rrafos prioritarios para el estudio de la a geometr´ plana en coordenadas baric´ntricas hecho aqu´ Entreellos cabe rese˜ar los siguientes: ıa e ı. n § 3.1 Definici´n de coordenadas baric´ntricas (p´g. 3) o e a § 5 Dividir un segmento. Ecuaci´n de la recta (p´g. 7) o a § 6.1 Medianas, bisectrices y alturas (p´g. 9) a § 11.1 Producto escalar. Distancia entre puntos (p´g. 28), § 11.3 (p´g. 29) a a § 12.1 Perpendicularidad (p´g. 30), § 12.2 (p´g. 31), § 12.4 (p´g. 33) a a a § 13.1 Giro de rectas (p´g. 47)§ 13.3 (p´g. 49) a a § 19.1 Ecuaci´n de la circunferencia. Centro y radio (p´g. 107), § 19.2 (p´g. 108). o a a Aprovechando que un sistema de coordenadas baric´ntricas es un caso particular de referencia e ıa proyectiva (§8), utilizamos las herramientas de geometr´ proyectiva para enfocar ciertos problemas, fundamentalmente en el estudio de c´nicas. La expresi´n del producto escalar (11.35), ent´rminos o o e de coordenadas baric´ntricas, nos permitir´ afrontar problemas de perpendicularidad, de giro de e a rectas y de circunferencias. Las coordenadas baric´ntricas fueron introducidas por A.F. M¨bius [14] en 1827, como una e o respuesta a la cuesti´n sobre qu´ masas se deben colocar en los v´rtices de un tri´ngulo para que o e e a
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Angel Montesdeoca

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un punto dado sea el centro de gravedad de estas masas y han sido una herramienta muy utilizada en el siglo XIX y comienzos del XX para obtener resultados sobre geometr´ del tri´ngulo, y en ıa a (1) la actualidad los lectores de la revista Forum Geometricorum y de Crux Mathematicorum o los miembros delgrupo Hyacinthos(2) conocen y emplean con asiduidad en sus investigaciones sobre puntos notables del tri´ngulo. a

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Notaciones y algunas f´rmulas o

2.1 Dado en el plano un tri´ngulo ABC, se designa, como es habitual, por a, b y c las longitudes a de los lados opuestos a los v´rtices A, B y C, respectivamente; por las mismas letras A, B y C, se e denotan los ´ngulos en los v´rticescorrespondientes; por s = (a + b + c)/2 el semiper´ a e ımetro; por S el doble del ´rea ∆; y, usando la notaci´n (Conway), a o Sθ = S cotag θ, se tiene, en particular, que b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2 a2 + b2 − c2 , SB = , SC = , 2 2 2 pues, por el teorema del coseno, y usando S = bc sen A = ca sen B = ab sen C, a2 = b2 + c2 − 2bc cos A = b2 + c2 − 2bc sen A cotag A = b2 + c2 − 2S cotag A. Algunas...