conicas

SUPERFICIE CÓNICA:
Se llama superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje.

CÓNICA:
Se llama cónica a la curva obtenida al cortar una superficie cónica por un plano.
Circunferencia.

Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijollamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.


Ecuación analítica de la circunferencia: Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que:

Pasando la raíz al otro miembro:

Desarrollando los términos cuadráticosobtenemos que:
Si hacemos D = -2a, E = -2b, F = a2 + b2 - r2 tendremos:
X2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.
Ejemplo:
Encontrar la ecuación de la circunferencia tiene como centro (0,0) y pasa por (7,-9)
Elipse.

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

Ecuación analítica de laelipse: Supongamos para simplificar que los focos están situados en los puntos F(c, 0) y F'(-c, 0), tomemos un punto cualquiera P(x, y) de la elipse y supongamos que la suma de las distancias entre PF y PF' es igual a 2a, entonces tendremos que:

PF + PF' = 2a
Elevando al cuadrado y uniendo términos semejantes obtenemos que:
(A2-c2)·x2 + a2y2 - (a2-c2) ·a2 = 0
A partir del dibujo y aplicandoPitágoras podemos obtener que a2 = b2 + c2 (piensa que cuando el punto P es (0, b) la hipotenusa debe medir a y el otro cateto c) y por lo tanto la ecuación se puede quedar:
b2x2 + a2y2 = a2b2

Dividiendo entre a2b2 obtenemos que:

Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser:
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que:
b2x2 + a2y2 - 2xpb2 -2yqa2 + p2b2 + q2a2 - a2b2 = 0
Si hacemos A = b2, B = a2, D = -2pb2, E = -2qa2, F = p2b2 + q2a2 - a2b2 tendremos la ecuación:
Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0
Donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que los términos A y B no tienen porqué ser iguales.
Ejemplo:
¿Cuál es la distancia de un extremo del eje menor al foco de la elipse x²/4+y²/3=1?
Aplicación:
Las órbitasde planetas como la Tierra son elípticas donde un foco corresponde al Sol. También le corresponde esta figura a los cometas y satélites. Además se cree que este razonamiento se aplica también a las órbitas de los átomos.
Debido a la resistencia del viento, las trayectorias que realizan los aviones cuando hacen viajes circulares se vuelven elípticas.
En arquitectura se utilizan con mayorfrecuencia arcos con forma elíptica.
Hipérbola


Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola.
Ecuación analítica de la hipérbola: Supongamos para simplificar que los focos están situados en los puntos F(c, 0) y F'(-c, 0), tomemos un punto cualquiera P(x, y) de la elipse ysupongamos que la diferencia de las distancias entre PF y PF' es igual a 2a, entonces tendremos que:

PF - PF' = 2ª
Elevando al cuadrado y uniendo términos semejantes obtenemos que:
(C2-a2)·x2 - a2y2 - (c2-a2) ·a2 = 0
A partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que c2 = a2 + b2 y por lo tanto la ecuación se puede quedar:
b2x2 - a2y2 = a2b2

Dividiendo entre a2b2 obtenemos que:Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser:
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que:
b2x2 - a2y2 - 2xpb2 + 2yqa2 + p2b2 - q2a2 - a2b2 = 0
Si hacemos A = b2, B = -a2, D = -2pb2, E = 2qa2, F = p2b2 - q2a2 - a2b2 tendremos la ecuación:
Ax2 - By2 + Dx + Ey + F = 0
Donde podemos comprobar que es igual que la de la elipse excepto que los...