Conicas

CURVAS EN EL PLANO: CIRCUNFERENCIAS, ELIPSES,
´
´
HIPERBOLAS
Y PARABOLAS
En el espacio, si dos rectas se cortan en un punto V y una recta gira en torno a la otra, se
obtiene una superficie c´onica. La recta que gira recibe el nombre de generatriz y la otra se
denomina eje de giro. El punto de intersecci´on de ambas rectas se llama v´
ertice.

La intersecci´on de una superficie c´onica con unplano que no pasa por su v´ertice, da lugar a
las curvas llamadas c´
onicas. Las circunferencias son las curvas que se obtienen cortando
una superficie c´onica con un plano perpendicular al eje. Las elipses son las curvas que se
obtiene cortando una superficie c´onica con un plano que no es paralelo a ninguna de sus
generatrices. Las hip´
erbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficiec´onica
con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices. Las par´
abolas son las curvas que se
obtienen al cortar una superficie c´onica con un plano paralelo a una sola generatriz.
Nosotros vamos a estudiar estas curvas como lugares geom´
etricos.
La CIRCUNFERENCIA de centro O y radio r > 0 es el lugar geom´etrico de los puntos
del plano, P , tales que la distancia a O es r. Es decir, d(P,O) = r.
Si el centro es O = (0, 0) y el radio es r > 0 la ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
es x2 + y 2 = r2 , mientras que las ecuaciones param´etricas son
x = r cos α
y = r sen α

α ∈ [0, 2π]

En general, si el centro es O = (a, b) y el radio es r > 0 su ecuaci´on cartesiana es
(x − a)2 + (y − b)2 = r2 , mientras que las ecuaciones param´etricas son
x = a + r cos α
y = b + r sen α

α ∈[0, 2π]

1. Halla la ecuaci´on de la circunferencia de centro (−3, 0) y que pasa por (3, −8).
2. Halla la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por (3, 0), (−1, 0) y (0, 3).
3. Halla los valores de k para que la ecuaci´on x2 + y 2 − 4x + 6y + k = 0 represente:
a) una circunferencia,

b) un punto,

c) ninguna l´ınea.

4. Sea considera la circunferencia C : x2 + y 2 + 2x + 4y + 1 = 0. Determinalos valores de
k para que la recta y = 2x + k sea:
a) exterior a C,

b) tangente a C,

c) secante a C.

5. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia x2 +y 2 +4x+6y −12 = 0
en los puntos de abscisa 2.
6. Encuentra la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por los puntos (−1, −2) y (3, 2)
cuyo centro est´a en la recta y = −2x.
7. Halla la ecuaci´on de la circunferencia decentro (1, 2) y tangente a la recta 4x+3y = 35.
Halla el punto de contacto.
8. Halla las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la circunferencia x2 + y 2 = 1 trazadas
desde el punto (2, 0).
9. Halla los puntos de intersecci´on de las dos circunferencias. x2 + y 2 + 6x − 16 = 0,
x2 + y 2 − 6x − 6y + 8 = 0, y la longitud de la cuerda com´
un.
La ELIPSE es el lugar geom´etrico de los puntos P delplano tales que la suma de las
distancias a dos puntos fijos F y F , llamados focos, es constante. Si llamamos 2a a esa
constante, los puntos P cumplen d(P, F ) + d(P, F ) = 2a.

Consideremos la recta que une los focos F y F y O su punto medio. En O situamos
el origen de coordenadas y en la recta que une los focos el eje OX. A los puntos A y A ,
intersecci´on de la elipse con la recta que pasa por F yF , se les llama v´
ertices de la elipse.
Observa que OA = a, ya que d(A, F ) + d(A, F ) = 2a. Tambi´en se llama v´
ertices a los
puntos B y B que son intersecci´on de la mediatriz del segmento F F con la elipse. Como
B es un punto de la elipse BF + BF = 2a y, como BF = BF , se tiene que BF = a.
Llamando b a OB y c a la mitad de la distancia entre los focos, se tiene que a2 = b2 + c2 .
Se llamaexcentricidad al cociente e = ac . En la elipse e < 1. La ecuaci´on reducida de la
x2 y 2
elipse respecto de sus ejes es 2 + 2 = 1. Las ecuaciones param´etricas de la elipse son:
a
b
x = a cos α
y = b sen α

α ∈ [0, 2π]

1. Dada la elipse 4x2 +9y 2 = 900, encuentra la longitud de los semiejes y su excentricidad.
2. Inscribe un rect´angulo de lados paralelos a los ejes y per´ımetro 12 en la...