CONTEO Y TEOR A DE CONJUNTOS

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CUENCAMÉ









INTRODUCCIÒN A LA MATEMATICA DISCRETA TEORIA DE CONJUNTOS
¿Que es un conjunto? Una colección bien definida de objetos. Bien definida cualquier objeto que consideremos, podemos determinar si esta en el conjunto observado. A los objetos del conjunto se les llama elementos.
Teoría de conjuntos.
Un conjunto lo podemos definir por: Extensión, encerrandotodos sus elementos entre llaves.
Comprensión, caracterizando los elementos que forman dicho conjunto.
Ejemplo
A = {2, 4, 6,8}
A = {números pares y positivos menores que 9}
Ejemplos
∅, el conjunto vacío, que carece de elementos. N, el conjunto de los números naturales.
Z, el conjunto de los números enteros.
Q, el conjunto de los números racionales.
R, el conjunto de los números reales.
C, el conjuntode los números complejos.
Si a es un elemento del conjunto A a ∈ A (relación de pertenencia).
Si a no es un elemento de A a /∈ A.
El cardinal del conjunto A (|A|) −→ número de elementos del conjunto. |∅| = 0.
A y B son iguales (A = B) −→ tienen exactamente los mismos elementos.
Ejemplos
A = {2,4,6,8}, B = {2,8,4,6} y C = {2,2,4,4,6,8}. A = B = C.
A es subconjunto de B si y sólo si cada elemento deA esta´ en B (A ⊆ B,) relación de inclusión.
A ⊆ B y B ⊆ A si y sólo si A = B.
Ejemplos
¿Es A subconjunto de B, si A = {1, 3,4} y B = {1, 4, 3,2}?
Sean A todos los múltiplos de 4 y B todos los múltiplos de 2. ¿Es A un subconjunto de B? ¿Es B un subconjunto de A?
A es un subconjunto propio de B si y sólo si cada elemento de A esta´ en B, y existe por lo menos un elemento de B que no está en A. (A⊂ B).
Ejemplos
{1, 2,3} es un subconjunto de {1, 2,3}, pero no es subconjunto propio.
{1, 2,3} es un subconjunto propio de {1, 2, 3,4}, 4 /∈ {1, 2,3}.
El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota P(A). B ⊆ A es equivalente a decir B ∈ P(A).
Ejemplo
Si A = {a, b}, P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.
Si a ∈ A entonces {a} ∈ P(A).
OPERACIONES
Diagrama deVenn
Unión
A ∪ B, al conjunto de todos los elementos que están en A o en B.
Intersección.
A ∩ B, al conjunto de todos los elementos que están en A y en B.
Teoría de conjuntos. Propiedades de la unión y de la intersección
Propiedad asociativa:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Propiedad conmutativa:
A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A
Propiedad idempotente:
A ∪ A = A A ∩ A = A
Elementouniversal:
A ∪ ∅ = A A ∪ X = X A ∩ ∅ = ∅ A ∩ X = A
Ley de simplificación:
(A ∪ B) ∩ A = A (A ∩ B) ∪ A = A
Propiedad distributiva:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Teoría de Conjuntos. Tablas de pertenencia
Tablas de pertenencia
Sean A y B conjuntos de X. Sea x ∈ X. Si x es un elemento de un conjunto dado escribimos un 1 y si x no es elemento del conjunto escribimos un 0.Probar que A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
TEORIA DE CONJUNTOS. NOTAS
Conjuntos disjuntos. A ∩ B = ∅
Extensión de la unión a una colección finita de elementos.
Extensión de la intersección a una colección finita de elementos. N
Teoría de conjuntos. Notas.
A − B es el conjunto de los elementos que están en A y no en B.
A ⊂ X, complementario de A con respecto a X, A, al conjunto X − A.
Elcomplementario verifica las siguientes propiedades:
∅ = X y X = ∅.
A = A.
A ∪ B = A ∩ B.
A ∩ B = A ∪ B.
Si A ⊂ B, entonces B ⊂ A.
A ∪ A = X y A ∩ A = ∅.
TEORIA DE CONJUNTOS. PRODUCTO CARTESIANO. APLICACIONES
Dados dos conjuntos A y B, el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) donde a está en A y b está en B, se denomina producto cartesiano de A por B, A × B. Se tiene que |A × B| = |A| · |B|.
Unacorrespondencia entre los conjuntos A y B es cualquier subconjunto del producto cartesiano A × B. Si un par (a,b) pertenece a un tal subconjunto diremos que al elemento origen a le corresponde el elemento destino b.
Una aplicación entre los conjuntos A y B es una correspondencia tal que a cada elemento del conjunto de partida le corresponde uno y sólo un elemento del conjunto de llegada, a tal...