Teor a elemental de conjuntos

27/4/2015

Teoría elemental de conjuntos

(es decir, la propiedad se verifica para todo número natural a partir de m; normalmente se usa con m = 1). 
 
Algunas veces, cuando se quiere demostrar que la proposición es cierta para n+1, es necesario usar que la
proposición 
se verifica para todo k < n+1; en ese caso se utiliza el Principio de Inducción completa:        "Sea S el conjunto de números naturales para los que la proposición p(n) es cierta; supongamos que
m  S
        y que
m,m+1, ... ,n S  n+1  S
        Entonces S = { m,m+1,m+2, ... }" 
 
Ejercicio: pruébese por inducción la fórmula del binomio de Newton 
 

                
 

 

(Indicación: utilícense las propiedades de los números combinatorios). 
  
 
 
 

Teoría de Conjuntos
 

NOCION INTUITIVA DE CONJUNTOUn conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman
elementos del mismo.
Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a  A. 
En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a A. 
 
Ejemplos de conjuntos: 
 
 : el conjunto vacío, que carece de elementos.
N: el conjunto de los números naturales.
Z: el conjunto de los números enteros.Q : el conjunto de los números racionales.
R: el conjunto de los números reales.
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Conjuntos/conjuntos.htm

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Teoría elemental de conjuntos

C: el conjunto de los números complejos.
  
Se puede definir un conjunto:
por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.
  Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión, 
o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:
A := {1,2,3, ... ,n}
B := {p Z | p es par}
  
Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), y se denota A  B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a  A  a  B.
Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A  B y B  A; 
esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).
Para cualquier conjunto A se verifica que  A y A  A; 
B  A es un subconjunto propio de A si A   y B  A.
El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota  (A). Entonces, la relación B  A es equivalente a decir B   (A). Ejemplos: 
 
Si A = {a,b} entonces  (A) = { ,{a},{b},A}.
Si a  A entonces {a}  (A).
Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U, 
se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSDados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A  B := {a  A | a  B}. 
Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A  B := (A  B)   A
Si A   (U), a la diferencia U  A se le llama complementario de A respecto de U, 
y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).
Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:
 ' = U .
U ' = .
(A')' = A .
A  B  B'  A' .Si A = { x  U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x  U | p(x) es una proposición
falsa}.
  
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Conjuntos/conjuntos.htm

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Teoría elemental de conjuntos

Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B, 
es decir: A  B := { x | x  A  x  B}.Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de
B, 
es decir: A  B := {x | x  A  x  B}.
Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A B = A  B'. 
En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades
:
PROPIEDADES

UNION...