Conteo
Páginas: 6 (1304 palabras)
Publicado: 7 de febrero de 2013
Métodos de Conteo
CONTEO GENERALIDADES La combinatoria trata, ante todo, de contar el número de maneras en que unos objetos dados pueden organizarse de una determinada forma. PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
El primer elemento se puede escoger de dos formas distintas: a1 y a2 . El segundo de tres maneras distintas: b1 , b2 y b3 . El tercer elemento se puede escoger en dos modos distintos: c1 y c2 Eltotal de posibilidades será: 2 * 3 * 2 = 12 La regla del producto o principio multiplicativo Si una elección tiene m alternativas posibles y otra n, entonces la realización de ambas tiene mn. Ejemplo Mozart compuso un vals con 11 posibilidades distintas para 14 de los 16 compases y 2 posibilidades para cada uno de los restantes. Se habrán llegado a escuchar alguna vez todas
las realizacionesposibles?
11 * 11 * … * 11 * 2 * 2 = 114 * 4 = 1.518.999.334.332.964 ≈ 1.5 * 1015
14
Héctor Alvaro Rojas Q.
Estadística Aplicada
Métodos de Conteo
PERMUTACIONES Una permutación es un arreglo en un orden particular, de los objetos que forman parte de un conjunto. Ejemplo Considerar las permutaciones de tres letras a, b y c. abc acb bac bca cab cba Permutaciones (sin repetición) Dados nobjetos distintos, llamamos permutación a una ordenación particular de los n objetos en una fila, tomados todos al mismo tiempo. Ejemplo: Hay 6 posibles permutaciones con las tres letras a, b, c: abc, acb, bac, bca, cab, cba. El número de permutaciones de n objetos diferentes tomados todos a la vez es n! (se lee “n factorial” o “factorial de n”). Usando la regla del producto: hay n posibles objetospara la primera plaza de la fila, n-1 objetos posibles para ocupar la segunda, etc...
Pn = n (n − 1 )(n − 2 )… (2 )(1 ) = n !
Ejemplo: 1) Para el ejemplo anterior tenemos:
P3 = 3 (3 − 1 )(3 − 2 ) = 3(2)(1) = 6
2) Con las letras de la palabra DISCO, cuántas palabras distintas (con o sin sentido) se pueden formar?
Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa. Tenemos queformar palabras de cinco letras con cinco elementos: {D, I, S, C, O}, que no están repetidos.
P = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 5
Héctor Alvaro Rojas Q.
Estadística Aplicada
Métodos de Conteo
Permutaciones con repetición de n elementos, con ni repeticiones del i_ésimo elemento, i=1,2,…,k:
Dados n elementos, de los cuales hay sólo k diferentes (n1 iguales, n2 iguales,. . .,nk iguales,con n1+n2+. . .+nk = n), el número de secuencias ordenadas de estos elementos es n! n1,n2, PRn …,nk = P R : n1,n2,…,nk = n n1!n2!…nk !
(
)
Ejemplos 1) Dado los elementos aa - bbb - cc – d, cuántas permutaciones con repetición se pueden obtener con ellos? Para permutar con repetición, tendremos 8 elementos repartidos así: dos del primero, tres del segundo, dos del tercero y uno del cuarto.Entonces las permutaciones se presentarán así:
P8 ( R : 2,3,2,1 ) =
8! 8 * 7 * 6 * 5 * 4 *3 *2 *1 = = 1680 2!3!2!1! (2 * 1 )(3 * 2 * 1 )(2 * 1 ) * 1
2) De cuántas maneras distribuiríamos 3 monedas de $5 y 4 monedas de $10 en una misma línea?
La fórmula respectiva será: P7 ( R : 3, 4 ) = 7! 7 * 6 * 5 * 4 *3 *2 *1 = = 35 3!4! (3 * 2 * 1 )( 4 * 3 * 2 * 1 )
Héctor Alvaro Rojas Q.Estadística Aplicada
Métodos de Conteo
VARIACIONES
Las variaciones corresponden a aquellas permutaciones donde los elementos no se toman en su totalidad. Variaciones sin repetición
Según la regla del producto, las maneras de escoger k elementos distintos de entre un total de n según un determinado orden, será igual al producto de: Vnk = Vn,k = n!
(n − k ) !
Ejemplos 1) En un banco sihay 4 sitios disponibles. De cuántas maneras se pueden sentar 10 personas en el? Nótese que importa el orden en que se sienten las personas, ya que los cuatro sitios son diferentes, y que una persona no puede ocupar más de un sitio a la vez. Por lo tanto:
V10,4 =
(10 − 4 ) !
10!
=
10! 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 *1 = = 5040 6! 6 * 5 * 4 * 3 * 2 *1
2) Determine el número...
CONTEO GENERALIDADES La combinatoria trata, ante todo, de contar el número de maneras en que unos objetos dados pueden organizarse de una determinada forma. PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
El primer elemento se puede escoger de dos formas distintas: a1 y a2 . El segundo de tres maneras distintas: b1 , b2 y b3 . El tercer elemento se puede escoger en dos modos distintos: c1 y c2 Eltotal de posibilidades será: 2 * 3 * 2 = 12 La regla del producto o principio multiplicativo Si una elección tiene m alternativas posibles y otra n, entonces la realización de ambas tiene mn. Ejemplo Mozart compuso un vals con 11 posibilidades distintas para 14 de los 16 compases y 2 posibilidades para cada uno de los restantes. Se habrán llegado a escuchar alguna vez todas
las realizacionesposibles?
11 * 11 * … * 11 * 2 * 2 = 114 * 4 = 1.518.999.334.332.964 ≈ 1.5 * 1015
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PERMUTACIONES Una permutación es un arreglo en un orden particular, de los objetos que forman parte de un conjunto. Ejemplo Considerar las permutaciones de tres letras a, b y c. abc acb bac bca cab cba Permutaciones (sin repetición) Dados nobjetos distintos, llamamos permutación a una ordenación particular de los n objetos en una fila, tomados todos al mismo tiempo. Ejemplo: Hay 6 posibles permutaciones con las tres letras a, b, c: abc, acb, bac, bca, cab, cba. El número de permutaciones de n objetos diferentes tomados todos a la vez es n! (se lee “n factorial” o “factorial de n”). Usando la regla del producto: hay n posibles objetospara la primera plaza de la fila, n-1 objetos posibles para ocupar la segunda, etc...
Pn = n (n − 1 )(n − 2 )… (2 )(1 ) = n !
Ejemplo: 1) Para el ejemplo anterior tenemos:
P3 = 3 (3 − 1 )(3 − 2 ) = 3(2)(1) = 6
2) Con las letras de la palabra DISCO, cuántas palabras distintas (con o sin sentido) se pueden formar?
Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa. Tenemos queformar palabras de cinco letras con cinco elementos: {D, I, S, C, O}, que no están repetidos.
P = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 5
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Permutaciones con repetición de n elementos, con ni repeticiones del i_ésimo elemento, i=1,2,…,k:
Dados n elementos, de los cuales hay sólo k diferentes (n1 iguales, n2 iguales,. . .,nk iguales,con n1+n2+. . .+nk = n), el número de secuencias ordenadas de estos elementos es n! n1,n2, PRn …,nk = P R : n1,n2,…,nk = n n1!n2!…nk !
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Ejemplos 1) Dado los elementos aa - bbb - cc – d, cuántas permutaciones con repetición se pueden obtener con ellos? Para permutar con repetición, tendremos 8 elementos repartidos así: dos del primero, tres del segundo, dos del tercero y uno del cuarto.Entonces las permutaciones se presentarán así:
P8 ( R : 2,3,2,1 ) =
8! 8 * 7 * 6 * 5 * 4 *3 *2 *1 = = 1680 2!3!2!1! (2 * 1 )(3 * 2 * 1 )(2 * 1 ) * 1
2) De cuántas maneras distribuiríamos 3 monedas de $5 y 4 monedas de $10 en una misma línea?
La fórmula respectiva será: P7 ( R : 3, 4 ) = 7! 7 * 6 * 5 * 4 *3 *2 *1 = = 35 3!4! (3 * 2 * 1 )( 4 * 3 * 2 * 1 )
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Las variaciones corresponden a aquellas permutaciones donde los elementos no se toman en su totalidad. Variaciones sin repetición
Según la regla del producto, las maneras de escoger k elementos distintos de entre un total de n según un determinado orden, será igual al producto de: Vnk = Vn,k = n!
(n − k ) !
Ejemplos 1) En un banco sihay 4 sitios disponibles. De cuántas maneras se pueden sentar 10 personas en el? Nótese que importa el orden en que se sienten las personas, ya que los cuatro sitios son diferentes, y que una persona no puede ocupar más de un sitio a la vez. Por lo tanto:
V10,4 =
(10 − 4 ) !
10!
=
10! 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 *1 = = 5040 6! 6 * 5 * 4 * 3 * 2 *1
2) Determine el número...
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